Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54409 / 21144
↖ ↑ ↗
← N 53.670680°
E118.877564°		 ← 361.85 m → N 53.670680°
E118.883056°		 →
↑
361.87 m
↓
↑
361.87 m
↓
N 53.667426°
E118.877564°		 ← 361.87 m →
130 947 m²		 N 53.667426°
E118.883056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830223083496094 y=0.322639465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830223083496094 × 216)
    floor (0.830223083496094 × 65536)
    floor (54409.5)     		tx = 54409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322639465332031 × 216)
    floor (0.322639465332031 × 65536)
    floor (21144.5)     		ty = 21144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54409 / 21144 ti = "16/54409/21144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54409/21144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54409 ÷ 216
    54409 ÷ 65536     		x = 0.830215454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21144 ÷ 216
    21144 ÷ 65536     		y = 0.3226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830215454101562 × 2 - 1) × π
    0.660430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07480489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3226318359375 × 2 - 1) × π
    0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07480489} λ = 2.07480489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11443704236707))-π/2
    2×atan(3.04785188464494)-π/2
    2×1.25376320396852-π/2
    2.50752640793703-1.57079632675     		φ = 0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07480489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.877564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54409 KachelY 21144 2.07480489 0.93673008 118.877564 53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 54410 KachelY 21144 2.07490076 0.93673008 118.883056 53.670680
    Unten links KachelX 54409 KachelY + 1 21145 2.07480489 0.93667328 118.877564 53.667426
    Unten rechts KachelX + 1 54410 KachelY + 1 21145 2.07490076 0.93667328 118.883056 53.667426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93673008-0.93667328) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dl = 361.872799999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93673008-0.93667328) × R
    5.6799999999968e-05 × 6371000     		dr = 361.872799999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07480489-2.07490076) × cos(0.93673008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 361.846260782255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07480489-2.07490076) × cos(0.93667328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592471276151088 × 6371000     		du = 361.874209549369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93673008)-sin(0.93667328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592471276151088)×R²
    abs(2.07490076-2.07480489)×4.57585572057884e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57585572057884e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57585572057884e-05×40589641000000     		ar = 130947.376543175m²