Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54407 / 89118
↖ ↑ ↗
← S 54.210649°
W 30.566712°		 ← 178.62 m → S 54.210649°
W 30.563965°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 54.212255°
W 30.566712°		 ← 178.61 m →
31 896 m²		 S 54.212255°
W 30.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415096282958984 y=0.679920196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415096282958984 × 217)
    floor (0.415096282958984 × 131072)
    floor (54407.5)     		tx = 54407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679920196533203 × 217)
    floor (0.679920196533203 × 131072)
    floor (89118.5)     		ty = 89118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54407 / 89118 ti = "17/54407/89118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54407/89118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54407 ÷ 217
    54407 ÷ 131072     		x = 0.415092468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89118 ÷ 217
    89118 ÷ 131072     		y = 0.679916381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415092468261719 × 2 - 1) × π
    -0.169815063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.53348976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679916381835938 × 2 - 1) × π
    -0.359832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13044796684016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53348976} λ = -0.53348976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13044796684016))-π/2
    2×atan(0.322888580642501)-π/2
    2×0.312321008807769-π/2
    0.624642017615538-1.57079632675     		φ = -0.94615431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53348976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.566712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94615431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.210649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54407 KachelY 89118 -0.53348976 -0.94615431 -30.566712 -54.210649
    Oben rechts KachelX + 1 54408 KachelY 89118 -0.53344182 -0.94615431 -30.563965 -54.210649
    Unten links KachelX 54407 KachelY + 1 89119 -0.53348976 -0.94618234 -30.566712 -54.212255
    Unten rechts KachelX + 1 54408 KachelY + 1 89119 -0.53344182 -0.94618234 -30.563965 -54.212255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94615431--0.94618234) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94615431--0.94618234) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53348976--0.53344182) × cos(-0.94615431) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		do = 178.615087605406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53348976--0.53344182) × cos(-0.94618234) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584784186883697 × 6371000     		du = 178.608143019548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94615431)-sin(-0.94618234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584806924279236-0.584784186883697)×R²
    abs(-0.53344182--0.53348976)×2.27373955393739e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27373955393739e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27373955393739e-05×40589641000000     		ar = 31896.3068725073m²