Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54406 / 89122
↖ ↑ ↗
← S 54.217073°
W 30.569458°		 ← 178.55 m → S 54.217073°
W 30.566712°		 →
↑
178.52 m
↓
↑
178.52 m
↓
S 54.218679°
W 30.569458°		 ← 178.54 m →
31 873 m²		 S 54.218679°
W 30.566712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415088653564453 y=0.679950714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415088653564453 × 217)
    floor (0.415088653564453 × 131072)
    floor (54406.5)     		tx = 54406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679950714111328 × 217)
    floor (0.679950714111328 × 131072)
    floor (89122.5)     		ty = 89122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54406 / 89122 ti = "17/54406/89122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54406/89122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54406 ÷ 217
    54406 ÷ 131072     		x = 0.415084838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89122 ÷ 217
    89122 ÷ 131072     		y = 0.679946899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415084838867188 × 2 - 1) × π
    -0.169830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53353769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679946899414062 × 2 - 1) × π
    -0.359893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13063971443864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53353769} λ = -0.53353769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13063971443864))-π/2
    2×atan(0.322826673468052)-π/2
    2×0.312264945506337-π/2
    0.624529891012673-1.57079632675     		φ = -0.94626644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53353769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.569458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94626644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.217073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54406 KachelY 89122 -0.53353769 -0.94626644 -30.569458 -54.217073
    Oben rechts KachelX + 1 54407 KachelY 89122 -0.53348976 -0.94626644 -30.566712 -54.217073
    Unten links KachelX 54406 KachelY + 1 89123 -0.53353769 -0.94629446 -30.569458 -54.218679
    Unten rechts KachelX + 1 54407 KachelY + 1 89123 -0.53348976 -0.94629446 -30.566712 -54.218679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94626644--0.94629446) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dl = 178.515419999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94626644--0.94629446) × R
    2.80199999999065e-05 × 6371000     		dr = 178.515419999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53353769--0.53348976) × cos(-0.94626644) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.584715963828047 × 6371000     		do = 178.550053687635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53353769--0.53348976) × cos(-0.94629446) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.58469323270718 × 6371000     		du = 178.543112466423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94626644)-sin(-0.94629446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584715963828047-0.58469323270718)×R²
    abs(-0.53348976--0.53353769)×2.27311208664815e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.27311208664815e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.27311208664815e-05×40589641000000     		ar = 31873.318269568m²