Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54405 / 50011
↖ ↑ ↗
← S 68.324234°
E118.855591°		 ← 225.62 m → S 68.324234°
E118.861084°		 →
↑
225.53 m
↓
↑
225.53 m
↓
S 68.326262°
E118.855591°		 ← 225.60 m →
50 883 m²		 S 68.326262°
E118.861084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830162048339844 y=0.763114929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830162048339844 × 216)
    floor (0.830162048339844 × 65536)
    floor (54405.5)     		tx = 54405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763114929199219 × 216)
    floor (0.763114929199219 × 65536)
    floor (50011.5)     		ty = 50011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54405 / 50011 ti = "16/54405/50011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54405/50011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54405 ÷ 216
    54405 ÷ 65536     		x = 0.830154418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50011 ÷ 216
    50011 ÷ 65536     		y = 0.763107299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830154418945312 × 2 - 1) × π
    0.660308837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07442139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763107299804688 × 2 - 1) × π
    -0.526214599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65315192029726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07442139} λ = 2.07442139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65315192029726))-π/2
    2×atan(0.191445535583858)-π/2
    2×0.189156745820956-π/2
    0.378313491641912-1.57079632675     		φ = -1.19248284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07442139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.855591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19248284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.324234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54405 KachelY 50011 2.07442139 -1.19248284 118.855591 -68.324234
    Oben rechts KachelX + 1 54406 KachelY 50011 2.07451727 -1.19248284 118.861084 -68.324234
    Unten links KachelX 54405 KachelY + 1 50012 2.07442139 -1.19251824 118.855591 -68.326262
    Unten rechts KachelX + 1 54406 KachelY + 1 50012 2.07451727 -1.19251824 118.861084 -68.326262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19248284--1.19251824) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dl = 225.533400000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19248284--1.19251824) × R
    3.54000000000187e-05 × 6371000     		dr = 225.533400000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07442139-2.07451727) × cos(-1.19248284) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369353737475048 × 6371000     		do = 225.620277180016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07442139-2.07451727) × cos(-1.19251824) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369320840417385 × 6371000     		du = 225.600181963655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19248284)-sin(-1.19251824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369353737475048-0.369320840417385)×R²
    abs(2.07451727-2.07442139)×3.28970576628507e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28970576628507e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28970576628507e-05×40589641000000     		ar = 50882.6421554949m²