Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54405 / 13029
↖ ↑ ↗
← N 80.772514°
W 30.572205°		 ← 48.98 m → N 80.772514°
W 30.569458°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.772073°
W 30.572205°		 ← 48.98 m →
2 400 m²		 N 80.772073°
W 30.569458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415081024169922 y=0.0994071960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415081024169922 × 217)
    floor (0.415081024169922 × 131072)
    floor (54405.5)     		tx = 54405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994071960449219 × 217)
    floor (0.0994071960449219 × 131072)
    floor (13029.5)     		ty = 13029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54405 / 13029 ti = "17/54405/13029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54405/13029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54405 ÷ 217
    54405 ÷ 131072     		x = 0.415077209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13029 ÷ 217
    13029 ÷ 131072     		y = 0.0994033813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415077209472656 × 2 - 1) × π
    -0.169845581054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.53358563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994033813476562 × 2 - 1) × π
    0.801193237304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.51702278835029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53358563} λ = -0.53358563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51702278835029))-π/2
    2×atan(12.3916491284085)-π/2
    2×1.49027131925817-π/2
    2.98054263851634-1.57079632675     		φ = 1.40974631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53358563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.572205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40974631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.772514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54405 KachelY 13029 -0.53358563 1.40974631 -30.572205 80.772514
    Oben rechts KachelX + 1 54406 KachelY 13029 -0.53353769 1.40974631 -30.569458 80.772514
    Unten links KachelX 54405 KachelY + 1 13030 -0.53358563 1.40973862 -30.572205 80.772073
    Unten rechts KachelX + 1 54406 KachelY + 1 13030 -0.53353769 1.40973862 -30.569458 80.772073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40974631-1.40973862) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40974631-1.40973862) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53358563--0.53353769) × cos(1.40974631) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160354723824725 × 6371000     		do = 48.9764601867437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53358563--0.53353769) × cos(1.40973862) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160362314307173 × 6371000     		du = 48.9787785154622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40974631)-sin(1.40973862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160354723824725-0.160362314307173)×R²
    abs(-0.53353769--0.53358563)×7.59048244752814e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.59048244752814e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.59048244752814e-06×40589641000000     		ar = 2399.5600150888m²