Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54404 / 50227
↖ ↑ ↗
← S 68.758286°
E118.850098°		 ← 221.29 m → S 68.758286°
E118.855591°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
S 68.760277°
E118.850098°		 ← 221.27 m →
48 976 m²		 S 68.760277°
E118.855591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830146789550781 y=0.766410827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830146789550781 × 216)
    floor (0.830146789550781 × 65536)
    floor (54404.5)     		tx = 54404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766410827636719 × 216)
    floor (0.766410827636719 × 65536)
    floor (50227.5)     		ty = 50227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54404 / 50227 ti = "16/54404/50227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54404/50227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54404 ÷ 216
    54404 ÷ 65536     		x = 0.83013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50227 ÷ 216
    50227 ÷ 65536     		y = 0.766403198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83013916015625 × 2 - 1) × π
    0.6602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07432552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766403198242188 × 2 - 1) × π
    -0.532806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67386066093312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07432552} λ = 2.07432552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67386066093312))-π/2
    2×atan(0.187521708626336)-π/2
    2×0.185368921265464-π/2
    0.370737842530929-1.57079632675     		φ = -1.20005848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07432552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.850098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20005848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.758286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54404 KachelY 50227 2.07432552 -1.20005848 118.850098 -68.758286
    Oben rechts KachelX + 1 54405 KachelY 50227 2.07442139 -1.20005848 118.855591 -68.758286
    Unten links KachelX 54404 KachelY + 1 50228 2.07432552 -1.20009322 118.850098 -68.760277
    Unten rechts KachelX + 1 54405 KachelY + 1 50228 2.07442139 -1.20009322 118.855591 -68.760277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20005848--1.20009322) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20005848--1.20009322) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07432552-2.07442139) × cos(-1.20005848) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362303248211342 × 6371000     		do = 221.290393038757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07432552-2.07442139) × cos(-1.20009322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362270868218767 × 6371000     		du = 221.2706157353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20005848)-sin(-1.20009322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362303248211342-0.362270868218767)×R²
    abs(2.07442139-2.07432552)×3.23799925749935e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23799925749935e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23799925749935e-05×40589641000000     		ar = 48975.6909711553m²