Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54404 / 15372
↖ ↑ ↗
← N 79.681282°
W 30.574951°		 ← 54.71 m → N 79.681282°
W 30.572205°		 →
↑
54.66 m
↓
↑
54.66 m
↓
N 79.680790°
W 30.574951°		 ← 54.71 m →
2 991 m²		 N 79.680790°
W 30.572205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415073394775391 y=0.117282867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415073394775391 × 217)
    floor (0.415073394775391 × 131072)
    floor (54404.5)     		tx = 54404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117282867431641 × 217)
    floor (0.117282867431641 × 131072)
    floor (15372.5)     		ty = 15372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54404 / 15372 ti = "17/54404/15372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54404/15372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54404 ÷ 217
    54404 ÷ 131072     		x = 0.415069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15372 ÷ 217
    15372 ÷ 131072     		y = 0.117279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53363357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117279052734375 × 2 - 1) × π
    0.76544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4047066325405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53363357} λ = -0.53363357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4047066325405))-π/2
    2×atan(11.0751807079222)-π/2
    2×1.48074852574792-π/2
    2.96149705149584-1.57079632675     		φ = 1.39070072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53363357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.574951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39070072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.681282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54404 KachelY 15372 -0.53363357 1.39070072 -30.574951 79.681282
    Oben rechts KachelX + 1 54405 KachelY 15372 -0.53358563 1.39070072 -30.572205 79.681282
    Unten links KachelX 54404 KachelY + 1 15373 -0.53363357 1.39069214 -30.574951 79.680790
    Unten rechts KachelX + 1 54405 KachelY + 1 15373 -0.53358563 1.39069214 -30.572205 79.680790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39070072-1.39069214) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dl = 54.6631799988133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39070072-1.39069214) × R
    8.57999999981374e-06 × 6371000     		dr = 54.6631799988133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53363357--0.53358563) × cos(1.39070072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179123634749604 × 6371000     		do = 54.7089686948515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53363357--0.53358563) × cos(1.39069214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179132075974997 × 6371000     		du = 54.7115468623637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39070072)-sin(1.39069214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179123634749604-0.179132075974997)×R²
    abs(-0.53358563--0.53363357)×8.44122539295222e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.44122539295222e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.44122539295222e-06×40589641000000     		ar = 2990.63666878364m²