Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54404 / 14466
↖ ↑ ↗
← N 80.117621°
W 30.574951°		 ← 52.42 m → N 80.117621°
W 30.572205°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.117150°
W 30.574951°		 ← 52.42 m →
2 749 m²		 N 80.117150°
W 30.572205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415073394775391 y=0.110370635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415073394775391 × 217)
    floor (0.415073394775391 × 131072)
    floor (54404.5)     		tx = 54404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110370635986328 × 217)
    floor (0.110370635986328 × 131072)
    floor (14466.5)     		ty = 14466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54404 / 14466 ti = "17/54404/14466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54404/14466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54404 ÷ 217
    54404 ÷ 131072     		x = 0.415069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14466 ÷ 217
    14466 ÷ 131072     		y = 0.110366821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53363357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110366821289062 × 2 - 1) × π
    0.779266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44813746359627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53363357} λ = -0.53363357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44813746359627))-π/2
    2×atan(11.5667830893563)-π/2
    2×1.48455630238322-π/2
    2.96911260476644-1.57079632675     		φ = 1.39831628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53363357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.574951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39831628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.117621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54404 KachelY 14466 -0.53363357 1.39831628 -30.574951 80.117621
    Oben rechts KachelX + 1 54405 KachelY 14466 -0.53358563 1.39831628 -30.572205 80.117621
    Unten links KachelX 54404 KachelY + 1 14467 -0.53363357 1.39830805 -30.574951 80.117150
    Unten rechts KachelX + 1 54405 KachelY + 1 14467 -0.53358563 1.39830805 -30.572205 80.117150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39831628-1.39830805) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39831628-1.39830805) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53363357--0.53358563) × cos(1.39831628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171626122614681 × 6371000     		do = 52.4190355028854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53363357--0.53358563) × cos(1.39830805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171634230493414 × 6371000     		du = 52.4215118577473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39831628)-sin(1.39830805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171626122614681-0.171634230493414)×R²
    abs(-0.53358563--0.53363357)×8.10787873312124e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.10787873312124e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.10787873312124e-06×40589641000000     		ar = 2748.56950869787m²