Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54403 / 13031
↖ ↑ ↗
← N 80.771633°
W 30.577698°		 ← 48.97 m → N 80.771633°
W 30.574951°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.771193°
W 30.577698°		 ← 48.97 m →
2 399 m²		 N 80.771193°
W 30.574951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415065765380859 y=0.0994224548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415065765380859 × 217)
    floor (0.415065765380859 × 131072)
    floor (54403.5)     		tx = 54403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994224548339844 × 217)
    floor (0.0994224548339844 × 131072)
    floor (13031.5)     		ty = 13031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54403 / 13031 ti = "17/54403/13031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54403/13031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54403 ÷ 217
    54403 ÷ 131072     		x = 0.415061950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13031 ÷ 217
    13031 ÷ 131072     		y = 0.0994186401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415061950683594 × 2 - 1) × π
    -0.169876098632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.53368150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994186401367188 × 2 - 1) × π
    0.801162719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51692691455105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53368150} λ = -0.53368150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51692691455105))-π/2
    2×atan(12.3904611508766)-π/2
    2×1.49026363198622-π/2
    2.98052726397245-1.57079632675     		φ = 1.40973094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53368150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.577698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40973094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.771633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54403 KachelY 13031 -0.53368150 1.40973094 -30.577698 80.771633
    Oben rechts KachelX + 1 54404 KachelY 13031 -0.53363357 1.40973094 -30.574951 80.771633
    Unten links KachelX 54403 KachelY + 1 13032 -0.53368150 1.40972325 -30.577698 80.771193
    Unten rechts KachelX + 1 54404 KachelY + 1 13032 -0.53363357 1.40972325 -30.574951 80.771193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40973094-1.40972325) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40973094-1.40972325) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53368150--0.53363357) × cos(1.40973094) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160369894909567 × 6371000     		do = 48.9708766605021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53368150--0.53363357) × cos(1.40972325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16037748537306 × 6371000     		du = 48.9731944998429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40973094)-sin(1.40972325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160369894909567-0.16037748537306)×R²
    abs(-0.53363357--0.53368150)×7.5904634927737e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.5904634927737e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.5904634927737e-06×40589641000000     		ar = 2399.28644944872m²