Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54402 / 87062
↖ ↑ ↗
← S 50.774682°
W 30.580444°		 ← 193.14 m → S 50.774682°
W 30.577698°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 50.776419°
W 30.580444°		 ← 193.14 m →
37 308 m²		 S 50.776419°
W 30.577698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415058135986328 y=0.664234161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415058135986328 × 217)
    floor (0.415058135986328 × 131072)
    floor (54402.5)     		tx = 54402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664234161376953 × 217)
    floor (0.664234161376953 × 131072)
    floor (87062.5)     		ty = 87062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54402 / 87062 ti = "17/54402/87062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54402/87062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54402 ÷ 217
    54402 ÷ 131072     		x = 0.415054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87062 ÷ 217
    87062 ÷ 131072     		y = 0.664230346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415054321289062 × 2 - 1) × π
    -0.169891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53372944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664230346679688 × 2 - 1) × π
    -0.328460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03188970122133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53372944} λ = -0.53372944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03188970122133))-π/2
    2×atan(0.356332961109108)-π/2
    2×0.342305477402938-π/2
    0.684610954805877-1.57079632675     		φ = -0.88618537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53372944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.580444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88618537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.774682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54402 KachelY 87062 -0.53372944 -0.88618537 -30.580444 -50.774682
    Oben rechts KachelX + 1 54403 KachelY 87062 -0.53368150 -0.88618537 -30.577698 -50.774682
    Unten links KachelX 54402 KachelY + 1 87063 -0.53372944 -0.88621569 -30.580444 -50.776419
    Unten rechts KachelX + 1 54403 KachelY + 1 87063 -0.53368150 -0.88621569 -30.577698 -50.776419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88618537--0.88621569) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88618537--0.88621569) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(-0.88618537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632371681176823 × 6371000     		do = 193.142588678349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(-0.88621569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632348193039548 × 6371000     		du = 193.13541479664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88618537)-sin(-0.88621569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632371681176823-0.632348193039548)×R²
    abs(-0.53368150--0.53372944)×2.34881372754847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34881372754847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34881372754847e-05×40589641000000     		ar = 37308.4137505554m²