Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54402 / 13030
↖ ↑ ↗
← N 80.772073°
W 30.580444°		 ← 48.98 m → N 80.772073°
W 30.577698°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.771633°
W 30.580444°		 ← 48.98 m →
2 397 m²		 N 80.771633°
W 30.577698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415058135986328 y=0.0994148254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415058135986328 × 217)
    floor (0.415058135986328 × 131072)
    floor (54402.5)     		tx = 54402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994148254394531 × 217)
    floor (0.0994148254394531 × 131072)
    floor (13030.5)     		ty = 13030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54402 / 13030 ti = "17/54402/13030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54402/13030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54402 ÷ 217
    54402 ÷ 131072     		x = 0.415054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13030 ÷ 217
    13030 ÷ 131072     		y = 0.0994110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415054321289062 × 2 - 1) × π
    -0.169891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53372944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994110107421875 × 2 - 1) × π
    0.801177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51697485145067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53372944} λ = -0.53372944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51697485145067))-π/2
    2×atan(12.3910551254056)-π/2
    2×1.49026747571313-π/2
    2.98053495142626-1.57079632675     		φ = 1.40973862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53372944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.580444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40973862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.772073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54402 KachelY 13030 -0.53372944 1.40973862 -30.580444 80.772073
    Oben rechts KachelX + 1 54403 KachelY 13030 -0.53368150 1.40973862 -30.577698 80.772073
    Unten links KachelX 54402 KachelY + 1 13031 -0.53372944 1.40973094 -30.580444 80.771633
    Unten rechts KachelX + 1 54403 KachelY + 1 13031 -0.53368150 1.40973094 -30.577698 80.771633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40973862-1.40973094) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40973862-1.40973094) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(1.40973862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160362314307173 × 6371000     		do = 48.9787785153487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(1.40973094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160369894909567 × 6371000     		du = 48.9810938264447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40973862)-sin(1.40973094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160362314307173-0.160369894909567)×R²
    abs(-0.53368150--0.53372944)×7.58060239428038e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58060239428038e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58060239428038e-06×40589641000000     		ar = 2396.55301133519m²