Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54402 / 13027
↖ ↑ ↗
← N 80.773394°
W 30.580444°		 ← 48.97 m → N 80.773394°
W 30.577698°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.772954°
W 30.580444°		 ← 48.97 m →
2 396 m²		 N 80.772954°
W 30.577698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415058135986328 y=0.0993919372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415058135986328 × 217)
    floor (0.415058135986328 × 131072)
    floor (54402.5)     		tx = 54402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993919372558594 × 217)
    floor (0.0993919372558594 × 131072)
    floor (13027.5)     		ty = 13027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54402 / 13027 ti = "17/54402/13027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54402/13027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54402 ÷ 217
    54402 ÷ 131072     		x = 0.415054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13027 ÷ 217
    13027 ÷ 131072     		y = 0.0993881225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415054321289062 × 2 - 1) × π
    -0.169891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53372944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0993881225585938 × 2 - 1) × π
    0.801223754882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51711866214953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53372944} λ = -0.53372944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51711866214953))-π/2
    2×atan(12.3928372198418)-π/2
    2×1.49027900580268-π/2
    2.98055801160536-1.57079632675     		φ = 1.40976168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53372944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.580444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40976168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.773394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54402 KachelY 13027 -0.53372944 1.40976168 -30.580444 80.773394
    Oben rechts KachelX + 1 54403 KachelY 13027 -0.53368150 1.40976168 -30.577698 80.773394
    Unten links KachelX 54402 KachelY + 1 13028 -0.53372944 1.40975400 -30.580444 80.772954
    Unten rechts KachelX + 1 54403 KachelY + 1 13028 -0.53368150 1.40975400 -30.577698 80.772954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40976168-1.40975400) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40976168-1.40975400) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(1.40976168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160339552702002 × 6371000     		do = 48.9718265352459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53372944--0.53368150) × cos(1.40975400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160347133332795 × 6371000     		du = 48.9741418550155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40976168)-sin(1.40975400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160339552702002-0.160347133332795)×R²
    abs(-0.53368150--0.53372944)×7.58063079325799e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58063079325799e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58063079325799e-06×40589641000000     		ar = 2396.21285609349m²