Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54401 / 87061
↖ ↑ ↗
← S 50.772945°
W 30.583191°		 ← 193.15 m → S 50.772945°
W 30.580444°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 50.774682°
W 30.583191°		 ← 193.14 m →
37 297 m²		 S 50.774682°
W 30.580444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415050506591797 y=0.664226531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415050506591797 × 217)
    floor (0.415050506591797 × 131072)
    floor (54401.5)     		tx = 54401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664226531982422 × 217)
    floor (0.664226531982422 × 131072)
    floor (87061.5)     		ty = 87061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54401 / 87061 ti = "17/54401/87061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54401/87061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54401 ÷ 217
    54401 ÷ 131072     		x = 0.415046691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87061 ÷ 217
    87061 ÷ 131072     		y = 0.664222717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415046691894531 × 2 - 1) × π
    -0.169906616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53377738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664222717285156 × 2 - 1) × π
    -0.328445434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03184176432171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53377738} λ = -0.53377738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03184176432171))-π/2
    2×atan(0.356350043015919)-π/2
    2×0.342320634653232-π/2
    0.684641269306463-1.57079632675     		φ = -0.88615506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53377738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.583191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88615506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.772945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54401 KachelY 87061 -0.53377738 -0.88615506 -30.583191 -50.772945
    Oben rechts KachelX + 1 54402 KachelY 87061 -0.53372944 -0.88615506 -30.580444 -50.772945
    Unten links KachelX 54401 KachelY + 1 87062 -0.53377738 -0.88618537 -30.583191 -50.774682
    Unten rechts KachelX + 1 54402 KachelY + 1 87062 -0.53372944 -0.88618537 -30.580444 -50.774682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88615506--0.88618537) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88615506--0.88618537) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53377738--0.53372944) × cos(-0.88615506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632395160986298 × 6371000     		do = 193.149760016533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53377738--0.53372944) × cos(-0.88618537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632371681176823 × 6371000     		du = 193.142588678349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88615506)-sin(-0.88618537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632395160986298-0.632371681176823)×R²
    abs(-0.53372944--0.53377738)×2.34798094751465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34798094751465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34798094751465e-05×40589641000000     		ar = 37297.4939316747m²