Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54401 / 13033
↖ ↑ ↗
← N 80.770752°
W 30.583191°		 ← 48.99 m → N 80.770752°
W 30.580444°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.770311°
W 30.583191°		 ← 48.99 m →
2 400 m²		 N 80.770311°
W 30.580444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415050506591797 y=0.0994377136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415050506591797 × 217)
    floor (0.415050506591797 × 131072)
    floor (54401.5)     		tx = 54401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994377136230469 × 217)
    floor (0.0994377136230469 × 131072)
    floor (13033.5)     		ty = 13033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54401 / 13033 ti = "17/54401/13033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54401/13033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54401 ÷ 217
    54401 ÷ 131072     		x = 0.415046691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13033 ÷ 217
    13033 ÷ 131072     		y = 0.0994338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415046691894531 × 2 - 1) × π
    -0.169906616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53377738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994338989257812 × 2 - 1) × π
    0.801132202148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51683104075181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53377738} λ = -0.53377738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51683104075181))-π/2
    2×atan(12.3892732872351)-π/2
    2×1.49025594398677-π/2
    2.98051188797355-1.57079632675     		φ = 1.40971556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53377738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.583191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40971556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.770752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54401 KachelY 13033 -0.53377738 1.40971556 -30.583191 80.770752
    Oben rechts KachelX + 1 54402 KachelY 13033 -0.53372944 1.40971556 -30.580444 80.770752
    Unten links KachelX 54401 KachelY + 1 13034 -0.53377738 1.40970787 -30.583191 80.770311
    Unten rechts KachelX + 1 54402 KachelY + 1 13034 -0.53372944 1.40970787 -30.580444 80.770311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40971556-1.40970787) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40971556-1.40970787) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53377738--0.53372944) × cos(1.40971556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160385075827069 × 6371000     		do = 48.9857304694065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53377738--0.53372944) × cos(1.40970787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160392666271593 × 6371000     		du = 48.9880487865422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40971556)-sin(1.40970787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160385075827069-0.160392666271593)×R²
    abs(-0.53372944--0.53377738)×7.59044452414148e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59044452414148e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59044452414148e-06×40589641000000     		ar = 2400.01419364396m²