Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5440 / 5952
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
E 59.062500°		 ← 2 224.86 m → S 62.915233°
E 59.106445°		 →
↑
2 224.05 m
↓
↑
2 224.05 m
↓
S 62.935235°
E 59.062500°		 ← 2 223.34 m →
4 946 517 m²		 S 62.935235°
E 59.106445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.66412353515625 y=0.72662353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.66412353515625 × 213)
    floor (0.66412353515625 × 8192)
    floor (5440.5)     		tx = 5440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72662353515625 × 213)
    floor (0.72662353515625 × 8192)
    floor (5952.5)     		ty = 5952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5440 / 5952 ti = "13/5440/5952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5440/5952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5440 ÷ 213
    5440 ÷ 8192     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5952 ÷ 213
    5952 ÷ 8192     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5440 KachelY 5952 1.03083509 -1.09807797 59.062500 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 5441 KachelY 5952 1.03160208 -1.09807797 59.106445 -62.915233
    Unten links KachelX 5440 KachelY + 1 5953 1.03083509 -1.09842706 59.062500 -62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 5441 KachelY + 1 5953 1.03160208 -1.09842706 59.106445 -62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.09842706) × R
    0.00034908999999983 × 6371000     		dl = 2224.05238999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.09842706) × R
    0.00034908999999983 × 6371000     		dr = 2224.05238999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(-1.09807797) × R
    0.000766990000000023 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 2224.86051214886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03160208) × cos(-1.09842706) × R
    0.000766990000000023 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 2223.34162196909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.454997375422371)×R²
    abs(1.03160208-1.03083509)×0.000310834393832338×R²
    0.000766990000000023×0.000310834393832338×6371000²
    0.000766990000000023×0.000310834393832338×40589641000000     		ar = 4946517.34402548m²