Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5440 / 11715
↖ ↑ ↗
← S 60.962444°
W 60.468750°		 ← 1 185.89 m → S 60.962444°
W 60.446778°		 →
↑
1 185.71 m
↓
↑
1 185.71 m
↓
S 60.973107°
W 60.468750°		 ← 1 185.50 m →
1 405 887 m²		 S 60.973107°
W 60.446778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332061767578125 y=0.715057373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332061767578125 × 214)
    floor (0.332061767578125 × 16384)
    floor (5440.5)     		tx = 5440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715057373046875 × 214)
    floor (0.715057373046875 × 16384)
    floor (11715.5)     		ty = 11715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5440 / 11715 ti = "14/5440/11715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5440/11715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5440 ÷ 214
    5440 ÷ 16384     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11715 ÷ 214
    11715 ÷ 16384     		y = 0.71502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35105357889166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35105357889166))-π/2
    2×atan(0.258967274410925)-π/2
    2×0.25340048168032-π/2
    0.506800963360641-1.57079632675     		φ = -1.06399536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06399536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.962444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5440 KachelY 11715 -1.05537878 -1.06399536 -60.468750 -60.962444
    Oben rechts KachelX + 1 5441 KachelY 11715 -1.05499529 -1.06399536 -60.446778 -60.962444
    Unten links KachelX 5440 KachelY + 1 11716 -1.05537878 -1.06418147 -60.468750 -60.973107
    Unten rechts KachelX + 1 5441 KachelY + 1 11716 -1.05499529 -1.06418147 -60.446778 -60.973107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06399536--1.06418147) × R
    0.000186110000000017 × 6371000     		dl = 1185.70681000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06399536--1.06418147) × R
    0.000186110000000017 × 6371000     		dr = 1185.70681000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.05499529) × cos(-1.06399536) × R
    0.000383490000000153 × 0.485382815030098 × 6371000     		do = 1185.89447249384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.05499529) × cos(-1.06418147) × R
    0.000383490000000153 × 0.485220090329152 × 6371000     		du = 1185.49690109779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06399536)-sin(-1.06418147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485382815030098-0.485220090329152)×R²
    abs(-1.05499529--1.05537878)×0.000162724700946137×R²
    0.000383490000000153×0.000162724700946137×6371000²
    0.000383490000000153×0.000162724700946137×40589641000000     		ar = 1405887.45447973m²