Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54398 / 89113
↖ ↑ ↗
← S 54.202617°
W 30.591431°		 ← 178.65 m → S 54.202617°
W 30.588684°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 54.204224°
W 30.591431°		 ← 178.64 m →
31 914 m²		 S 54.204224°
W 30.588684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415027618408203 y=0.679882049560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415027618408203 × 217)
    floor (0.415027618408203 × 131072)
    floor (54398.5)     		tx = 54398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679882049560547 × 217)
    floor (0.679882049560547 × 131072)
    floor (89113.5)     		ty = 89113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54398 / 89113 ti = "17/54398/89113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54398/89113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54398 ÷ 217
    54398 ÷ 131072     		x = 0.415023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89113 ÷ 217
    89113 ÷ 131072     		y = 0.679878234863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415023803710938 × 2 - 1) × π
    -0.169952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53392119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679878234863281 × 2 - 1) × π
    -0.359756469726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.13020828234206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53392119} λ = -0.53392119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13020828234206))-π/2
    2×atan(0.322965981305393)-π/2
    2×0.31239110019824-π/2
    0.62478220039648-1.57079632675     		φ = -0.94601413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53392119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.591431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94601413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.202617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54398 KachelY 89113 -0.53392119 -0.94601413 -30.591431 -54.202617
    Oben rechts KachelX + 1 54399 KachelY 89113 -0.53387325 -0.94601413 -30.588684 -54.202617
    Unten links KachelX 54398 KachelY + 1 89114 -0.53392119 -0.94604217 -30.591431 -54.204224
    Unten rechts KachelX + 1 54399 KachelY + 1 89114 -0.53387325 -0.94604217 -30.588684 -54.204224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94601413--0.94604217) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94601413--0.94604217) × R
    2.80400000000069e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53392119--0.53387325) × cos(-0.94601413) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584920628697219 × 6371000     		do = 178.64981586141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53392119--0.53387325) × cos(-0.94604217) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.584897885488638 × 6371000     		du = 178.642869500099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94601413)-sin(-0.94604217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584920628697219-0.584897885488638)×R²
    abs(-0.53387325--0.53392119)×2.27432085802004e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27432085802004e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27432085802004e-05×40589641000000     		ar = 31913.8900142242m²