Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54396 / 87082
↖ ↑ ↗
← S 50.809406°
W 30.596924°		 ← 193 m → S 50.809406°
W 30.594177°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
S 50.811142°
W 30.596924°		 ← 192.99 m →
37 244 m²		 S 50.811142°
W 30.594177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415012359619141 y=0.664386749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415012359619141 × 217)
    floor (0.415012359619141 × 131072)
    floor (54396.5)     		tx = 54396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664386749267578 × 217)
    floor (0.664386749267578 × 131072)
    floor (87082.5)     		ty = 87082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54396 / 87082 ti = "17/54396/87082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54396/87082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54396 ÷ 217
    54396 ÷ 131072     		x = 0.415008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87082 ÷ 217
    87082 ÷ 131072     		y = 0.664382934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53401706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664382934570312 × 2 - 1) × π
    -0.328765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03284843921373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53401706} λ = -0.53401706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03284843921373))-π/2
    2×atan(0.355991494875829)-π/2
    2×0.342002450587278-π/2
    0.684004901174556-1.57079632675     		φ = -0.88679143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53401706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88679143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.809406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54396 KachelY 87082 -0.53401706 -0.88679143 -30.596924 -50.809406
    Oben rechts KachelX + 1 54397 KachelY 87082 -0.53396912 -0.88679143 -30.594177 -50.809406
    Unten links KachelX 54396 KachelY + 1 87083 -0.53401706 -0.88682172 -30.596924 -50.811142
    Unten rechts KachelX + 1 54397 KachelY + 1 87083 -0.53396912 -0.88682172 -30.594177 -50.811142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88679143--0.88682172) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88679143--0.88682172) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(-0.88679143) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.63190207152172 × 6371000     		do = 192.999157802375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(-0.88682172) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.631878595020699 × 6371000     		du = 192.991987474678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88679143)-sin(-0.88682172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63190207152172-0.631878595020699)×R²
    abs(-0.53396912--0.53401706)×2.34765010206361e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34765010206361e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34765010206361e-05×40589641000000     		ar = 37243.8204910796m²