Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54396 / 13046
↖ ↑ ↗
← N 80.765023°
W 30.596924°		 ← 49.02 m → N 80.765023°
W 30.594177°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.764583°
W 30.596924°		 ← 49.02 m →
2 401 m²		 N 80.764583°
W 30.594177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415012359619141 y=0.0995368957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415012359619141 × 217)
    floor (0.415012359619141 × 131072)
    floor (54396.5)     		tx = 54396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995368957519531 × 217)
    floor (0.0995368957519531 × 131072)
    floor (13046.5)     		ty = 13046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54396 / 13046 ti = "17/54396/13046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54396/13046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54396 ÷ 217
    54396 ÷ 131072     		x = 0.415008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13046 ÷ 217
    13046 ÷ 131072     		y = 0.0995330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53401706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0995330810546875 × 2 - 1) × π
    0.800933837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51620786105675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53401706} λ = -0.53401706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51620786105675))-π/2
    2×atan(12.3815549488916)-π/2
    2×1.49020595425282-π/2
    2.98041190850564-1.57079632675     		φ = 1.40961558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53401706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40961558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.765023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54396 KachelY 13046 -0.53401706 1.40961558 -30.596924 80.765023
    Oben rechts KachelX + 1 54397 KachelY 13046 -0.53396912 1.40961558 -30.594177 80.765023
    Unten links KachelX 54396 KachelY + 1 13047 -0.53401706 1.40960789 -30.596924 80.764583
    Unten rechts KachelX + 1 54397 KachelY + 1 13047 -0.53396912 1.40960789 -30.594177 80.764583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40961558-1.40960789) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40961558-1.40960789) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(1.40961558) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160483760736311 × 6371000     		do = 49.0158713809519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(1.40960789) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160491351057483 × 6371000     		du = 49.0181896604128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40961558)-sin(1.40960789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160483760736311-0.160491351057483)×R²
    abs(-0.53396912--0.53401706)×7.59032117203517e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.59032117203517e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.59032117203517e-06×40589641000000     		ar = 2401.49088616011m²