Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54396 / 13044
↖ ↑ ↗
← N 80.765905°
W 30.596924°		 ← 49.01 m → N 80.765905°
W 30.594177°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.765464°
W 30.596924°		 ← 49.01 m →
2 404 m²		 N 80.765464°
W 30.594177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415012359619141 y=0.0995216369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415012359619141 × 217)
    floor (0.415012359619141 × 131072)
    floor (54396.5)     		tx = 54396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995216369628906 × 217)
    floor (0.0995216369628906 × 131072)
    floor (13044.5)     		ty = 13044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54396 / 13044 ti = "17/54396/13044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54396/13044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54396 ÷ 217
    54396 ÷ 131072     		x = 0.415008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13044 ÷ 217
    13044 ÷ 131072     		y = 0.099517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53401706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099517822265625 × 2 - 1) × π
    0.80096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51630373485599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53401706} λ = -0.53401706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51630373485599))-π/2
    2×atan(12.3827420725112)-π/2
    2×1.49021364698268-π/2
    2.98042729396535-1.57079632675     		φ = 1.40963097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53401706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40963097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.765905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54396 KachelY 13044 -0.53401706 1.40963097 -30.596924 80.765905
    Oben rechts KachelX + 1 54397 KachelY 13044 -0.53396912 1.40963097 -30.594177 80.765905
    Unten links KachelX 54396 KachelY + 1 13045 -0.53401706 1.40962327 -30.596924 80.765464
    Unten rechts KachelX + 1 54397 KachelY + 1 13045 -0.53396912 1.40962327 -30.594177 80.765464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40963097-1.40962327) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40963097-1.40962327) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(1.40963097) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160468570195087 × 6371000     		do = 49.0112317986576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53401706--0.53396912) × cos(1.40962327) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160476170405648 × 6371000     		du = 49.0135530985926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40963097)-sin(1.40962327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160468570195087-0.160476170405648)×R²
    abs(-0.53396912--0.53401706)×7.60021056181448e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.60021056181448e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.60021056181448e-06×40589641000000     		ar = 2404.38623260096m²