Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54393 / 13045
↖ ↑ ↗
← N 80.765464°
W 30.605163°		 ← 49 m → N 80.765464°
W 30.602417°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.765023°
W 30.605163°		 ← 49.01 m →
2 401 m²		 N 80.765023°
W 30.602417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414989471435547 y=0.0995292663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414989471435547 × 217)
    floor (0.414989471435547 × 131072)
    floor (54393.5)     		tx = 54393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995292663574219 × 217)
    floor (0.0995292663574219 × 131072)
    floor (13045.5)     		ty = 13045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54393 / 13045 ti = "17/54393/13045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54393/13045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54393 ÷ 217
    54393 ÷ 131072     		x = 0.414985656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13045 ÷ 217
    13045 ÷ 131072     		y = 0.0995254516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414985656738281 × 2 - 1) × π
    -0.170028686523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53416087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0995254516601562 × 2 - 1) × π
    0.800949096679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.51625579795637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53416087} λ = -0.53416087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51625579795637))-π/2
    2×atan(12.3821484964746)-π/2
    2×1.49020980070875-π/2
    2.98041960141749-1.57079632675     		φ = 1.40962327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53416087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.605163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40962327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.765464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54393 KachelY 13045 -0.53416087 1.40962327 -30.605163 80.765464
    Oben rechts KachelX + 1 54394 KachelY 13045 -0.53411294 1.40962327 -30.602417 80.765464
    Unten links KachelX 54393 KachelY + 1 13046 -0.53416087 1.40961558 -30.605163 80.765023
    Unten rechts KachelX + 1 54394 KachelY + 1 13046 -0.53411294 1.40961558 -30.602417 80.765023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40962327-1.40961558) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40962327-1.40961558) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53416087--0.53411294) × cos(1.40962327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160476170405648 × 6371000     		do = 49.0033291617247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53416087--0.53411294) × cos(1.40961558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160483760736311 × 6371000     		du = 49.0056469605041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40962327)-sin(1.40961558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160476170405648-0.160483760736311)×R²
    abs(-0.53411294--0.53416087)×7.59033066219383e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.59033066219383e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.59033066219383e-06×40589641000000     		ar = 2400.87639349359m²