Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54390 / 50169
↖ ↑ ↗
← S 68.642555°
E118.773194°		 ← 222.44 m → S 68.642555°
E118.778686°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
S 68.644556°
E118.773194°		 ← 222.42 m →
49 485 m²		 S 68.644556°
E118.778686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829933166503906 y=0.765525817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829933166503906 × 216)
    floor (0.829933166503906 × 65536)
    floor (54390.5)     		tx = 54390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765525817871094 × 216)
    floor (0.765525817871094 × 65536)
    floor (50169.5)     		ty = 50169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54390 / 50169 ti = "16/54390/50169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54390/50169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54390 ÷ 216
    54390 ÷ 65536     		x = 0.829925537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50169 ÷ 216
    50169 ÷ 65536     		y = 0.765518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829925537109375 × 2 - 1) × π
    0.65985107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07298329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765518188476562 × 2 - 1) × π
    -0.531036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66829998057719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07298329} λ = 2.07298329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66829998057719))-π/2
    2×atan(0.188567361484058)-π/2
    2×0.186378861792122-π/2
    0.372757723584244-1.57079632675     		φ = -1.19803860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07298329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.773194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19803860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.642555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54390 KachelY 50169 2.07298329 -1.19803860 118.773194 -68.642555
    Oben rechts KachelX + 1 54391 KachelY 50169 2.07307916 -1.19803860 118.778686 -68.642555
    Unten links KachelX 54390 KachelY + 1 50170 2.07298329 -1.19807352 118.773194 -68.644556
    Unten rechts KachelX + 1 54391 KachelY + 1 50170 2.07307916 -1.19807352 118.778686 -68.644556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19803860--1.19807352) × R
    3.49199999998273e-05 × 6371000     		dl = 222.4753199989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19803860--1.19807352) × R
    3.49199999998273e-05 × 6371000     		dr = 222.4753199989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07298329-2.07307916) × cos(-1.19803860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364185157756529 × 6371000     		do = 222.439840373203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07298329-2.07307916) × cos(-1.19807352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364152635610837 × 6371000     		du = 222.419976244361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19803860)-sin(-1.19807352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364185157756529-0.364152635610837)×R²
    abs(2.07307916-2.07298329)×3.25221456915492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25221456915492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25221456915492e-05×40589641000000     		ar = 49485.1650332612m²