Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54390 / 13048
↖ ↑ ↗
← N 80.764142°
W 30.613403°		 ← 49.01 m → N 80.764142°
W 30.610657°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.763701°
W 30.613403°		 ← 49.01 m →
2 401 m²		 N 80.763701°
W 30.610657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414966583251953 y=0.0995521545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414966583251953 × 217)
    floor (0.414966583251953 × 131072)
    floor (54390.5)     		tx = 54390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995521545410156 × 217)
    floor (0.0995521545410156 × 131072)
    floor (13048.5)     		ty = 13048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54390 / 13048 ti = "17/54390/13048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54390/13048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54390 ÷ 217
    54390 ÷ 131072     		x = 0.414962768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13048 ÷ 217
    13048 ÷ 131072     		y = 0.09954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414962768554688 × 2 - 1) × π
    -0.170074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53430468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09954833984375 × 2 - 1) × π
    0.8009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51611198725751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53430468} λ = -0.53430468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51611198725751))-π/2
    2×atan(12.3803679390806)-π/2
    2×1.49019826079496-π/2
    2.98039652158992-1.57079632675     		φ = 1.40960019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53430468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.613403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40960019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.764142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54390 KachelY 13048 -0.53430468 1.40960019 -30.613403 80.764142
    Oben rechts KachelX + 1 54391 KachelY 13048 -0.53425675 1.40960019 -30.610657 80.764142
    Unten links KachelX 54390 KachelY + 1 13049 -0.53430468 1.40959250 -30.613403 80.763701
    Unten rechts KachelX + 1 54391 KachelY + 1 13049 -0.53425675 1.40959250 -30.610657 80.763701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40960019-1.40959250) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40960019-1.40959250) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53430468--0.53425675) × cos(1.40960019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160498951239524 × 6371000     		do = 49.010285563402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53430468--0.53425675) × cos(1.40959250) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160506541541701 × 6371000     		du = 49.0126033534832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40960019)-sin(1.40959250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160498951239524-0.160506541541701)×R²
    abs(-0.53425675--0.53430468)×7.59030217736822e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.59030217736822e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.59030217736822e-06×40589641000000     		ar = 2401.2172082578m²