Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54388 / 87074
↖ ↑ ↗
← S 50.795519°
W 30.618897°		 ← 193.06 m → S 50.795519°
W 30.616150°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 50.797256°
W 30.618897°		 ← 193.05 m →
37 267 m²		 S 50.797256°
W 30.616150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414951324462891 y=0.664325714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414951324462891 × 217)
    floor (0.414951324462891 × 131072)
    floor (54388.5)     		tx = 54388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664325714111328 × 217)
    floor (0.664325714111328 × 131072)
    floor (87074.5)     		ty = 87074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54388 / 87074 ti = "17/54388/87074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54388/87074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54388 ÷ 217
    54388 ÷ 131072     		x = 0.414947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87074 ÷ 217
    87074 ÷ 131072     		y = 0.664321899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53440056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664321899414062 × 2 - 1) × π
    -0.328643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03246494401677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53440056} λ = -0.53440056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03246494401677))-π/2
    2×atan(0.356128042085198)-π/2
    2×0.342123634300092-π/2
    0.684247268600184-1.57079632675     		φ = -0.88654906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53440056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.618897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88654906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.795519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54388 KachelY 87074 -0.53440056 -0.88654906 -30.618897 -50.795519
    Oben rechts KachelX + 1 54389 KachelY 87074 -0.53435262 -0.88654906 -30.616150 -50.795519
    Unten links KachelX 54388 KachelY + 1 87075 -0.53440056 -0.88657936 -30.618897 -50.797256
    Unten rechts KachelX + 1 54389 KachelY + 1 87075 -0.53435262 -0.88657936 -30.616150 -50.797256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88654906--0.88657936) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88654906--0.88657936) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53440056--0.53435262) × cos(-0.88654906) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.632089901401466 × 6371000     		do = 193.05652588239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53440056--0.53435262) × cos(-0.88657936) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.632066421790945 × 6371000     		du = 193.049354604972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88654906)-sin(-0.88657936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632089901401466-0.632066421790945)×R²
    abs(-0.53435262--0.53440056)×2.34796105216262e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34796105216262e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34796105216262e-05×40589641000000     		ar = 37267.1905565211m²