Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54386 / 50170
↖ ↑ ↗
← S 68.644556°
E118.751221°		 ← 222.44 m → S 68.644556°
E118.756714°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
S 68.646556°
E118.751221°		 ← 222.42 m →
49 472 m²		 S 68.646556°
E118.756714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829872131347656 y=0.765541076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829872131347656 × 216)
    floor (0.829872131347656 × 65536)
    floor (54386.5)     		tx = 54386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765541076660156 × 216)
    floor (0.765541076660156 × 65536)
    floor (50170.5)     		ty = 50170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54386 / 50170 ti = "16/54386/50170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54386/50170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54386 ÷ 216
    54386 ÷ 65536     		x = 0.829864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50170 ÷ 216
    50170 ÷ 65536     		y = 0.765533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829864501953125 × 2 - 1) × π
    0.65972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07259979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.53106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66839585437643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07259979} λ = 2.07259979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66839585437643))-π/2
    2×atan(0.188549283681308)-π/2
    2×0.186361404664302-π/2
    0.372722809328604-1.57079632675     		φ = -1.19807352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07259979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19807352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.644556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54386 KachelY 50170 2.07259979 -1.19807352 118.751221 -68.644556
    Oben rechts KachelX + 1 54387 KachelY 50170 2.07269567 -1.19807352 118.756714 -68.644556
    Unten links KachelX 54386 KachelY + 1 50171 2.07259979 -1.19810843 118.751221 -68.646556
    Unten rechts KachelX + 1 54387 KachelY + 1 50171 2.07269567 -1.19810843 118.756714 -68.646556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19807352--1.19810843) × R
    3.49100000001101e-05 × 6371000     		dl = 222.411610000702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19807352--1.19810843) × R
    3.49100000001101e-05 × 6371000     		dr = 222.411610000702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07259979-2.07269567) × cos(-1.19807352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364152635610837 × 6371000     		do = 222.443176408635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07259979-2.07269567) × cos(-1.19810843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364120122334615 × 6371000     		du = 222.423315625735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19807352)-sin(-1.19810843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364152635610837-0.364120122334615)×R²
    abs(2.07269567-2.07259979)×3.25132762218905e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25132762218905e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25132762218905e-05×40589641000000     		ar = 49471.7363694642m²