Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54384 / 50015
↖ ↑ ↗
← S 68.332348°
E118.740234°		 ← 225.54 m → S 68.332348°
E118.745728°		 →
↑
225.47 m
↓
↑
225.47 m
↓
S 68.334376°
E118.740234°		 ← 225.52 m →
50 850 m²		 S 68.334376°
E118.745728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829841613769531 y=0.763175964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829841613769531 × 216)
    floor (0.829841613769531 × 65536)
    floor (54384.5)     		tx = 54384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763175964355469 × 216)
    floor (0.763175964355469 × 65536)
    floor (50015.5)     		ty = 50015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54384 / 50015 ti = "16/54384/50015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54384/50015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54384 ÷ 216
    54384 ÷ 65536     		x = 0.829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50015 ÷ 216
    50015 ÷ 65536     		y = 0.763168334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829833984375 × 2 - 1) × π
    0.65966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07240804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763168334960938 × 2 - 1) × π
    -0.526336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65353541549422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07240804} λ = 2.07240804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65353541549422))-π/2
    2×atan(0.191372131216492)-π/2
    2×0.189085935746498-π/2
    0.378171871492996-1.57079632675     		φ = -1.19262446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07240804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.740234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19262446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.332348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54384 KachelY 50015 2.07240804 -1.19262446 118.740234 -68.332348
    Oben rechts KachelX + 1 54385 KachelY 50015 2.07250392 -1.19262446 118.745728 -68.332348
    Unten links KachelX 54384 KachelY + 1 50016 2.07240804 -1.19265985 118.740234 -68.334376
    Unten rechts KachelX + 1 54385 KachelY + 1 50016 2.07250392 -1.19265985 118.745728 -68.334376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19262446--1.19265985) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dl = 225.469690000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19262446--1.19265985) × R
    3.53900000000795e-05 × 6371000     		dr = 225.469690000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07240804-2.07250392) × cos(-1.19262446) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369222127880829 × 6371000     		do = 225.539883264606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07240804-2.07250392) × cos(-1.19265985) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369189238265422 × 6371000     		du = 225.519792594358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19262446)-sin(-1.19265985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369222127880829-0.369189238265422)×R²
    abs(2.07250392-2.07240804)×3.2889615406928e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2889615406928e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2889615406928e-05×40589641000000     		ar = 50850.1426490601m²