Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54384 / 13032
↖ ↑ ↗
← N 80.771193°
W 30.629883°		 ← 48.97 m → N 80.771193°
W 30.627136°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
N 80.770752°
W 30.629883°		 ← 48.98 m →
2 399 m²		 N 80.770752°
W 30.627136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414920806884766 y=0.0994300842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414920806884766 × 217)
    floor (0.414920806884766 × 131072)
    floor (54384.5)     		tx = 54384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994300842285156 × 217)
    floor (0.0994300842285156 × 131072)
    floor (13032.5)     		ty = 13032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54384 / 13032 ti = "17/54384/13032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54384/13032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54384 ÷ 217
    54384 ÷ 131072     		x = 0.4149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13032 ÷ 217
    13032 ÷ 131072     		y = 0.09942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.170166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53459230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09942626953125 × 2 - 1) × π
    0.8011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51687897765143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53459230} λ = -0.53459230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51687897765143))-π/2
    2×atan(12.3898672048202)-π/2
    2×1.49025978807744-π/2
    2.98051957615488-1.57079632675     		φ = 1.40972325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53459230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.629883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40972325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.771193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54384 KachelY 13032 -0.53459230 1.40972325 -30.629883 80.771193
    Oben rechts KachelX + 1 54385 KachelY 13032 -0.53454437 1.40972325 -30.627136 80.771193
    Unten links KachelX 54384 KachelY + 1 13033 -0.53459230 1.40971556 -30.629883 80.770752
    Unten rechts KachelX + 1 54385 KachelY + 1 13033 -0.53454437 1.40971556 -30.627136 80.770752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40972325-1.40971556) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40972325-1.40971556) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53459230--0.53454437) × cos(1.40972325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16037748537306 × 6371000     		do = 48.9731944998429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53459230--0.53454437) × cos(1.40971556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160385075827069 × 6371000     		du = 48.9755123362876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40972325)-sin(1.40971556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16037748537306-0.160385075827069)×R²
    abs(-0.53454437--0.53459230)×7.59045400891556e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.59045400891556e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.59045400891556e-06×40589641000000     		ar = 2399.40000728439m²