Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54381 / 50021
↖ ↑ ↗
← S 68.344514°
E118.723755°		 ← 225.42 m → S 68.344514°
E118.729248°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 68.346541°
E118.723755°		 ← 225.40 m →
50 809 m²		 S 68.346541°
E118.729248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829795837402344 y=0.763267517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829795837402344 × 216)
    floor (0.829795837402344 × 65536)
    floor (54381.5)     		tx = 54381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763267517089844 × 216)
    floor (0.763267517089844 × 65536)
    floor (50021.5)     		ty = 50021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54381 / 50021 ti = "16/54381/50021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54381/50021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54381 ÷ 216
    54381 ÷ 65536     		x = 0.829788208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50021 ÷ 216
    50021 ÷ 65536     		y = 0.763259887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829788208007812 × 2 - 1) × π
    0.659576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07212042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763259887695312 × 2 - 1) × π
    -0.526519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65411065828966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07212042} λ = 2.07212042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65411065828966))-π/2
    2×atan(0.19126207743362)-π/2
    2×0.188979767942563-π/2
    0.377959535885127-1.57079632675     		φ = -1.19283679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07212042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.723755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19283679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.344514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54381 KachelY 50021 2.07212042 -1.19283679 118.723755 -68.344514
    Oben rechts KachelX + 1 54382 KachelY 50021 2.07221630 -1.19283679 118.729248 -68.344514
    Unten links KachelX 54381 KachelY + 1 50022 2.07212042 -1.19287217 118.723755 -68.346541
    Unten rechts KachelX + 1 54382 KachelY + 1 50022 2.07221630 -1.19287217 118.729248 -68.346541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19283679--1.19287217) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19283679--1.19287217) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07212042-2.07221630) × cos(-1.19283679) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36902479254753 × 6371000     		do = 225.419340684204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07212042-2.07221630) × cos(-1.19287217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.368991909452847 × 6371000     		du = 225.39925399715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19283679)-sin(-1.19287217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36902479254753-0.368991909452847)×R²
    abs(2.07221630-2.07212042)×3.28830946831893e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.28830946831893e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.28830946831893e-05×40589641000000     		ar = 50808.6035733542m²