Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5438 / 11713
↖ ↑ ↗
← S 60.941106°
W 60.512695°		 ← 1 186.69 m → S 60.941106°
W 60.490723°		 →
↑
1 186.54 m
↓
↑
1 186.54 m
↓
S 60.951777°
W 60.512695°		 ← 1 186.29 m →
1 407 813 m²		 S 60.951777°
W 60.490723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331939697265625 y=0.714935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331939697265625 × 214)
    floor (0.331939697265625 × 16384)
    floor (5438.5)     		tx = 5438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.714935302734375 × 214)
    floor (0.714935302734375 × 16384)
    floor (11713.5)     		ty = 11713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5438 / 11713 ti = "14/5438/11713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5438/11713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5438 ÷ 214
    5438 ÷ 16384     		x = 0.3319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11713 ÷ 214
    11713 ÷ 16384     		y = 0.71490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05614577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71490478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35028658849774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05614577} λ = -1.05614577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35028658849774))-π/2
    2×atan(0.259165976014108)-π/2
    2×0.253586686078709-π/2
    0.507173372157419-1.57079632675     		φ = -1.06362295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05614577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06362295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.941106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5438 KachelY 11713 -1.05614577 -1.06362295 -60.512695 -60.941106
    Oben rechts KachelX + 1 5439 KachelY 11713 -1.05576228 -1.06362295 -60.490723 -60.941106
    Unten links KachelX 5438 KachelY + 1 11714 -1.05614577 -1.06380919 -60.512695 -60.951777
    Unten rechts KachelX + 1 5439 KachelY + 1 11714 -1.05576228 -1.06380919 -60.490723 -60.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06362295--1.06380919) × R
    0.000186239999999893 × 6371000     		dl = 1186.53503999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06362295--1.06380919) × R
    0.000186239999999893 × 6371000     		dr = 1186.53503999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05614577--1.05576228) × cos(-1.06362295) × R
    0.000383490000000153 × 0.485708380072822 × 6371000     		do = 1186.68989782133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05614577--1.05576228) × cos(-1.06380919) × R
    0.000383490000000153 × 0.485545575371555 × 6371000     		du = 1186.29213096732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06362295)-sin(-1.06380919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485708380072822-0.485545575371555)×R²
    abs(-1.05576228--1.05614577)×0.000162804701267116×R²
    0.000383490000000153×0.000162804701267116×6371000²
    0.000383490000000153×0.000162804701267116×40589641000000     		ar = 1407813.1672934m²