Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54377 / 50153
↖ ↑ ↗
← S 68.610524°
E118.701782°		 ← 222.76 m → S 68.610524°
E118.707275°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 68.612528°
E118.701782°		 ← 222.74 m →
49 627 m²		 S 68.612528°
E118.707275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829734802246094 y=0.765281677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829734802246094 × 216)
    floor (0.829734802246094 × 65536)
    floor (54377.5)     		tx = 54377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765281677246094 × 216)
    floor (0.765281677246094 × 65536)
    floor (50153.5)     		ty = 50153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54377 / 50153 ti = "16/54377/50153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54377/50153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54377 ÷ 216
    54377 ÷ 65536     		x = 0.829727172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50153 ÷ 216
    50153 ÷ 65536     		y = 0.765274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829727172851562 × 2 - 1) × π
    0.659454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07173693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765274047851562 × 2 - 1) × π
    -0.530548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66676599978935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07173693} λ = 2.07173693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66676599978935))-π/2
    2×atan(0.188856842165926)-π/2
    2×0.186658387916039-π/2
    0.373316775832077-1.57079632675     		φ = -1.19747955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07173693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.701782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19747955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.610524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54377 KachelY 50153 2.07173693 -1.19747955 118.701782 -68.610524
    Oben rechts KachelX + 1 54378 KachelY 50153 2.07183280 -1.19747955 118.707275 -68.610524
    Unten links KachelX 54377 KachelY + 1 50154 2.07173693 -1.19751452 118.701782 -68.612528
    Unten rechts KachelX + 1 54378 KachelY + 1 50154 2.07183280 -1.19751452 118.707275 -68.612528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19747955--1.19751452) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dl = 222.793869999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19747955--1.19751452) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dr = 222.793869999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07173693-2.07183280) × cos(-1.19747955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364705758934981 × 6371000     		do = 222.75781720605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07173693-2.07183280) × cos(-1.19751452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364673197346907 × 6371000     		du = 222.737928986282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19747955)-sin(-1.19751452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364705758934981-0.364673197346907)×R²
    abs(2.07183280-2.07173693)×3.25615880735208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25615880735208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25615880735208e-05×40589641000000     		ar = 49626.8606863609m²