Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54377 / 15321
↖ ↑ ↗
← N 79.706343°
W 30.649109°		 ← 54.57 m → N 79.706343°
W 30.646363°		 →
↑
54.60 m
↓
↑
54.60 m
↓
N 79.705852°
W 30.649109°		 ← 54.57 m →
2 979 m²		 N 79.705852°
W 30.646363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414867401123047 y=0.116893768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414867401123047 × 217)
    floor (0.414867401123047 × 131072)
    floor (54377.5)     		tx = 54377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116893768310547 × 217)
    floor (0.116893768310547 × 131072)
    floor (15321.5)     		ty = 15321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54377 / 15321 ti = "17/54377/15321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54377/15321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54377 ÷ 217
    54377 ÷ 131072     		x = 0.414863586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15321 ÷ 217
    15321 ÷ 131072     		y = 0.116889953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414863586425781 × 2 - 1) × π
    -0.170272827148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53492786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116889953613281 × 2 - 1) × π
    0.766220092773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.40715141442112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53492786} λ = -0.53492786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40715141442112))-π/2
    2×atan(11.1022902339779)-π/2
    2×1.48096722172985-π/2
    2.96193444345969-1.57079632675     		φ = 1.39113812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53492786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.649109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39113812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.706343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54377 KachelY 15321 -0.53492786 1.39113812 -30.649109 79.706343
    Oben rechts KachelX + 1 54378 KachelY 15321 -0.53487993 1.39113812 -30.646363 79.706343
    Unten links KachelX 54377 KachelY + 1 15322 -0.53492786 1.39112955 -30.649109 79.705852
    Unten rechts KachelX + 1 54378 KachelY + 1 15322 -0.53487993 1.39112955 -30.646363 79.705852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39113812-1.39112955) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dl = 54.5994699992005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39113812-1.39112955) × R
    8.56999999987451e-06 × 6371000     		dr = 54.5994699992005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53492786--0.53487993) × cos(1.39113812) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178693291885943 × 6371000     		do = 54.5661463577076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53492786--0.53487993) × cos(1.39112955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178701723943743 × 6371000     		du = 54.5687211879945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39113812)-sin(1.39112955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178693291885943-0.178701723943743)×R²
    abs(-0.53487993--0.53492786)×8.43205780007295e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.43205780007295e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.43205780007295e-06×40589641000000     		ar = 2979.35296321834m²