Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54372 / 50020
↖ ↑ ↗
← S 68.342487°
E118.674316°		 ← 225.42 m → S 68.342487°
E118.679809°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 68.344514°
E118.674316°		 ← 225.40 m →
50 808 m²		 S 68.344514°
E118.679809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829658508300781 y=0.763252258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829658508300781 × 216)
    floor (0.829658508300781 × 65536)
    floor (54372.5)     		tx = 54372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763252258300781 × 216)
    floor (0.763252258300781 × 65536)
    floor (50020.5)     		ty = 50020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54372 / 50020 ti = "16/54372/50020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54372/50020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54372 ÷ 216
    54372 ÷ 65536     		x = 0.82965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50020 ÷ 216
    50020 ÷ 65536     		y = 0.76324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82965087890625 × 2 - 1) × π
    0.6593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07125756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.5264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65401478449042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07125756} λ = 2.07125756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65401478449042))-π/2
    2×atan(0.191280415334682)-π/2
    2×0.188997458635127-π/2
    0.377994917270255-1.57079632675     		φ = -1.19280141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07125756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19280141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.342487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54372 KachelY 50020 2.07125756 -1.19280141 118.674316 -68.342487
    Oben rechts KachelX + 1 54373 KachelY 50020 2.07135343 -1.19280141 118.679809 -68.342487
    Unten links KachelX 54372 KachelY + 1 50021 2.07125756 -1.19283679 118.674316 -68.344514
    Unten rechts KachelX + 1 54373 KachelY + 1 50021 2.07135343 -1.19283679 118.679809 -68.344514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19280141--1.19283679) × R
    3.53800000001403e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19280141--1.19283679) × R
    3.53800000001403e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07125756-2.07135343) × cos(-1.19280141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369057675180288 × 6371000     		do = 225.415914424748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07125756-2.07135343) × cos(-1.19283679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36902479254753 × 6371000     		du = 225.395830114813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19280141)-sin(-1.19283679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369057675180288-0.36902479254753)×R²
    abs(2.07135343-2.07125756)×3.28826327586906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28826327586906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28826327586906e-05×40589641000000     		ar = 50807.831541871m²