Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54370 / 89182
↖ ↑ ↗
← S 54.313319°
W 30.668335°		 ← 178.17 m → S 54.313319°
W 30.665588°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
S 54.314921°
W 30.668335°		 ← 178.16 m →
31 749 m²		 S 54.314921°
W 30.665588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414813995361328 y=0.680408477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414813995361328 × 217)
    floor (0.414813995361328 × 131072)
    floor (54370.5)     		tx = 54370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680408477783203 × 217)
    floor (0.680408477783203 × 131072)
    floor (89182.5)     		ty = 89182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54370 / 89182 ti = "17/54370/89182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54370/89182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54370 ÷ 217
    54370 ÷ 131072     		x = 0.414810180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89182 ÷ 217
    89182 ÷ 131072     		y = 0.680404663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414810180664062 × 2 - 1) × π
    -0.170379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53526342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680404663085938 × 2 - 1) × π
    -0.360809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13351592841585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53526342} λ = -0.53526342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13351592841585))-π/2
    2×atan(0.321899488907391)-π/2
    2×0.311425042035238-π/2
    0.622850084070477-1.57079632675     		φ = -0.94794624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53526342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.668335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94794624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.313319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54370 KachelY 89182 -0.53526342 -0.94794624 -30.668335 -54.313319
    Oben rechts KachelX + 1 54371 KachelY 89182 -0.53521548 -0.94794624 -30.665588 -54.313319
    Unten links KachelX 54370 KachelY + 1 89183 -0.53526342 -0.94797421 -30.668335 -54.314921
    Unten rechts KachelX + 1 54371 KachelY + 1 89183 -0.53521548 -0.94797421 -30.665588 -54.314921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94794624--0.94797421) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dl = 178.196869999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94794624--0.94797421) × R
    2.79699999999883e-05 × 6371000     		dr = 178.196869999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53526342--0.53521548) × cos(-0.94794624) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		do = 178.170845099497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53526342--0.53521548) × cos(-0.94797421) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.583329703769847 × 6371000     		du = 178.163906438182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94794624)-sin(-0.94797421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58335242176773-0.583329703769847)×R²
    abs(-0.53521548--0.53526342)×2.27179978825598e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.27179978825598e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.27179978825598e-05×40589641000000     		ar = 31748.8687001326m²