Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54370 / 50210
↖ ↑ ↗
← S 68.724427°
E118.663330°		 ← 221.63 m → S 68.724427°
E118.668823°		 →
↑
221.65 m
↓
↑
221.65 m
↓
S 68.726420°
E118.663330°		 ← 221.61 m →
49 121 m²		 S 68.726420°
E118.668823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829627990722656 y=0.766151428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829627990722656 × 216)
    floor (0.829627990722656 × 65536)
    floor (54370.5)     		tx = 54370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766151428222656 × 216)
    floor (0.766151428222656 × 65536)
    floor (50210.5)     		ty = 50210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54370 / 50210 ti = "16/54370/50210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54370/50210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54370 ÷ 216
    54370 ÷ 65536     		x = 0.829620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50210 ÷ 216
    50210 ÷ 65536     		y = 0.766143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829620361328125 × 2 - 1) × π
    0.65924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07106581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.53228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67223080634604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07106581} λ = 2.07106581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67223080634604))-π/2
    2×atan(0.187827590947458)-π/2
    2×0.185664396425244-π/2
    0.371328792850488-1.57079632675     		φ = -1.19946753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07106581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19946753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.724427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54370 KachelY 50210 2.07106581 -1.19946753 118.663330 -68.724427
    Oben rechts KachelX + 1 54371 KachelY 50210 2.07116168 -1.19946753 118.668823 -68.724427
    Unten links KachelX 54370 KachelY + 1 50211 2.07106581 -1.19950232 118.663330 -68.726420
    Unten rechts KachelX + 1 54371 KachelY + 1 50211 2.07116168 -1.19950232 118.668823 -68.726420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19946753--1.19950232) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dl = 221.647089999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19946753--1.19950232) × R
    3.47899999999512e-05 × 6371000     		dr = 221.647089999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07106581-2.07116168) × cos(-1.19946753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362853985936714 × 6371000     		do = 221.626776905892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07106581-2.07116168) × cos(-1.19950232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362821566794471 × 6371000     		du = 221.606975690296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19946753)-sin(-1.19950232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362853985936714-0.362821566794471)×R²
    abs(2.07116168-2.07106581)×3.24191422431119e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24191422431119e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24191422431119e-05×40589641000000     		ar = 49120.7357314352m²