Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5437 / 11717
↖ ↑ ↗
← S 60.983767°
W 60.534668°		 ← 1 185.13 m → S 60.983767°
W 60.512695°		 →
↑
1 184.94 m
↓
↑
1 184.94 m
↓
S 60.994423°
W 60.534668°		 ← 1 184.73 m →
1 404 076 m²		 S 60.994423°
W 60.512695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331878662109375 y=0.715179443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331878662109375 × 214)
    floor (0.331878662109375 × 16384)
    floor (5437.5)     		tx = 5437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715179443359375 × 214)
    floor (0.715179443359375 × 16384)
    floor (11717.5)     		ty = 11717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5437 / 11717 ti = "14/5437/11717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5437/11717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5437 ÷ 214
    5437 ÷ 16384     		x = 0.33184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11717 ÷ 214
    11717 ÷ 16384     		y = 0.71514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.3363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05652927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35182056928558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05652927} λ = -1.05652927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35182056928558))-π/2
    2×atan(0.258768725151533)-π/2
    2×0.253214402105208-π/2
    0.506428804210416-1.57079632675     		φ = -1.06436752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05652927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.534668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06436752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.983767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5437 KachelY 11717 -1.05652927 -1.06436752 -60.534668 -60.983767
    Oben rechts KachelX + 1 5438 KachelY 11717 -1.05614577 -1.06436752 -60.512695 -60.983767
    Unten links KachelX 5437 KachelY + 1 11718 -1.05652927 -1.06455351 -60.534668 -60.994423
    Unten rechts KachelX + 1 5438 KachelY + 1 11718 -1.05614577 -1.06455351 -60.512695 -60.994423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06436752--1.06455351) × R
    0.00018599000000008 × 6371000     		dl = 1184.94229000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06436752--1.06455351) × R
    0.00018599000000008 × 6371000     		dr = 1184.94229000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05652927--1.05614577) × cos(-1.06436752) × R
    0.00038349999999987 × 0.48505740129061 × 6371000     		do = 1185.13031983882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05652927--1.05614577) × cos(-1.06455351) × R
    0.00038349999999987 × 0.484894747936351 × 6371000     		du = 1184.7329123954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06436752)-sin(-1.06455351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48505740129061-0.484894747936351)×R²
    abs(-1.05614577--1.05652927)×0.000162653354259079×R²
    0.00038349999999987×0.000162653354259079×6371000²
    0.00038349999999987×0.000162653354259079×40589641000000     		ar = 1404075.58674399m²