Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54369 / 89183
↖ ↑ ↗
← S 54.314921°
W 30.671082°		 ← 178.16 m → S 54.314921°
W 30.668335°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 54.316523°
W 30.671082°		 ← 178.16 m →
31 736 m²		 S 54.316523°
W 30.668335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414806365966797 y=0.680416107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414806365966797 × 217)
    floor (0.414806365966797 × 131072)
    floor (54369.5)     		tx = 54369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680416107177734 × 217)
    floor (0.680416107177734 × 131072)
    floor (89183.5)     		ty = 89183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54369 / 89183 ti = "17/54369/89183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54369/89183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54369 ÷ 217
    54369 ÷ 131072     		x = 0.414802551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89183 ÷ 217
    89183 ÷ 131072     		y = 0.680412292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414802551269531 × 2 - 1) × π
    -0.170394897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.53531136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.680412292480469 × 2 - 1) × π
    -0.360824584960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.13356386531547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53531136} λ = -0.53531136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13356386531547))-π/2
    2×atan(0.321884058413752)-π/2
    2×0.311411060254244-π/2
    0.622822120508489-1.57079632675     		φ = -0.94797421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53531136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.671082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94797421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.314921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54369 KachelY 89183 -0.53531136 -0.94797421 -30.671082 -54.314921
    Oben rechts KachelX + 1 54370 KachelY 89183 -0.53526342 -0.94797421 -30.668335 -54.314921
    Unten links KachelX 54369 KachelY + 1 89184 -0.53531136 -0.94800217 -30.671082 -54.316523
    Unten rechts KachelX + 1 54370 KachelY + 1 89184 -0.53526342 -0.94800217 -30.668335 -54.316523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94797421--0.94800217) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94797421--0.94800217) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53531136--0.53526342) × cos(-0.94797421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583329703769847 × 6371000     		do = 178.16390643777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53531136--0.53526342) × cos(-0.94800217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.583306993438132 × 6371000     		du = 178.1569701179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94797421)-sin(-0.94800217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583329703769847-0.583306993438132)×R²
    abs(-0.53526342--0.53531136)×2.27103317156363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27103317156363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27103317156363e-05×40589641000000     		ar = 31736.2818595242m²