Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54368 / 50158
↖ ↑ ↗
← S 68.620539°
E118.652344°		 ← 222.68 m → S 68.620539°
E118.657837°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
S 68.622541°
E118.652344°		 ← 222.66 m →
49 582 m²		 S 68.622541°
E118.657837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829597473144531 y=0.765357971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829597473144531 × 216)
    floor (0.829597473144531 × 65536)
    floor (54368.5)     		tx = 54368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765357971191406 × 216)
    floor (0.765357971191406 × 65536)
    floor (50158.5)     		ty = 50158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54368 / 50158 ti = "16/54368/50158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54368/50158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54368 ÷ 216
    54368 ÷ 65536     		x = 0.82958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50158 ÷ 216
    50158 ÷ 65536     		y = 0.765350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82958984375 × 2 - 1) × π
    0.6591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07087406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.53070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66724536878555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07087406} λ = 2.07087406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66724536878555))-π/2
    2×atan(0.188766331746749)-π/2
    2×0.186570993105763-π/2
    0.373141986211527-1.57079632675     		φ = -1.19765434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07087406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19765434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.620539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54368 KachelY 50158 2.07087406 -1.19765434 118.652344 -68.620539
    Oben rechts KachelX + 1 54369 KachelY 50158 2.07096994 -1.19765434 118.657837 -68.620539
    Unten links KachelX 54368 KachelY + 1 50159 2.07087406 -1.19768929 118.652344 -68.622541
    Unten rechts KachelX + 1 54369 KachelY + 1 50159 2.07096994 -1.19768929 118.657837 -68.622541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19765434--1.19768929) × R
    3.49500000000891e-05 × 6371000     		dl = 222.666450000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19765434--1.19768929) × R
    3.49500000000891e-05 × 6371000     		dr = 222.666450000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07087406-2.07096994) × cos(-1.19765434) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364543002406613 × 6371000     		do = 222.681632543577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07087406-2.07096994) × cos(-1.19768929) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.364510457213893 × 6371000     		du = 222.661752264437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19765434)-sin(-1.19768929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364543002406613-0.364510457213893)×R²
    abs(2.07096994-2.07087406)×3.25451927204456e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25451927204456e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25451927204456e-05×40589641000000     		ar = 49581.5152681263m²