Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54367 / 50159
↖ ↑ ↗
← S 68.622541°
E118.646851°		 ← 222.64 m → S 68.622541°
E118.652344°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
S 68.624543°
E118.646851°		 ← 222.62 m →
49 558 m²		 S 68.624543°
E118.652344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829582214355469 y=0.765373229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829582214355469 × 216)
    floor (0.829582214355469 × 65536)
    floor (54367.5)     		tx = 54367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765373229980469 × 216)
    floor (0.765373229980469 × 65536)
    floor (50159.5)     		ty = 50159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54367 / 50159 ti = "16/54367/50159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54367/50159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54367 ÷ 216
    54367 ÷ 65536     		x = 0.829574584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50159 ÷ 216
    50159 ÷ 65536     		y = 0.765365600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829574584960938 × 2 - 1) × π
    0.659149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07077819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765365600585938 × 2 - 1) × π
    -0.530731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66734124258479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07077819} λ = 2.07077819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66734124258479))-π/2
    2×atan(0.188748234868878)-π/2
    2×0.186553518824511-π/2
    0.373107037649023-1.57079632675     		φ = -1.19768929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07077819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.646851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19768929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.622541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54367 KachelY 50159 2.07077819 -1.19768929 118.646851 -68.622541
    Oben rechts KachelX + 1 54368 KachelY 50159 2.07087406 -1.19768929 118.652344 -68.622541
    Unten links KachelX 54367 KachelY + 1 50160 2.07077819 -1.19772423 118.646851 -68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 54368 KachelY + 1 50160 2.07087406 -1.19772423 118.652344 -68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19768929--1.19772423) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dl = 222.60273999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19768929--1.19772423) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dr = 222.60273999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07077819-2.07087406) × cos(-1.19768929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364510457213893 × 6371000     		do = 222.638529303349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07077819-2.07087406) × cos(-1.19772423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 222.618656513439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19768929)-sin(-1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364510457213893-0.364477920888042)×R²
    abs(2.07087406-2.07077819)×3.25363258504296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25363258504296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25363258504296e-05×40589641000000     		ar = 49557.734788537m²