Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54366 / 50150
↖ ↑ ↗
← S 68.604513°
E118.641358°		 ← 222.82 m → S 68.604513°
E118.646851°		 →
↑
222.79 m
↓
↑
222.79 m
↓
S 68.606517°
E118.641358°		 ← 222.80 m →
49 640 m²		 S 68.606517°
E118.646851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829566955566406 y=0.765235900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829566955566406 × 216)
    floor (0.829566955566406 × 65536)
    floor (54366.5)     		tx = 54366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765235900878906 × 216)
    floor (0.765235900878906 × 65536)
    floor (50150.5)     		ty = 50150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54366 / 50150 ti = "16/54366/50150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54366/50150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54366 ÷ 216
    54366 ÷ 65536     		x = 0.829559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50150 ÷ 216
    50150 ÷ 65536     		y = 0.765228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829559326171875 × 2 - 1) × π
    0.65911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07068232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.53045654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66647837839163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07068232} λ = 2.07068232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66647837839163))-π/2
    2×atan(0.18891116924728)-π/2
    2×0.186710843529662-π/2
    0.373421687059324-1.57079632675     		φ = -1.19737464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07068232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.641358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19737464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.604513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54366 KachelY 50150 2.07068232 -1.19737464 118.641358 -68.604513
    Oben rechts KachelX + 1 54367 KachelY 50150 2.07077819 -1.19737464 118.646851 -68.604513
    Unten links KachelX 54366 KachelY + 1 50151 2.07068232 -1.19740961 118.641358 -68.606517
    Unten rechts KachelX + 1 54367 KachelY + 1 50151 2.07077819 -1.19740961 118.646851 -68.606517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19737464--1.19740961) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dl = 222.793869999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19737464--1.19740961) × R
    3.49699999999675e-05 × 6371000     		dr = 222.793869999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07068232-2.07077819) × cos(-1.19737464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364803441023048 × 6371000     		do = 222.817480230789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07068232-2.07077819) × cos(-1.19740961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.364770880773091 × 6371000     		du = 222.797592828327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19737464)-sin(-1.19740961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364803441023048-0.364770880773091)×R²
    abs(2.07077819-2.07068232)×3.25602499570143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.25602499570143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.25602499570143e-05×40589641000000     		ar = 49640.1533333421m²