Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54363 / 13066
↖ ↑ ↗
← N 80.756204°
W 30.687561°		 ← 49.06 m → N 80.756204°
W 30.684814°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.755763°
W 30.687561°		 ← 49.06 m →
2 407 m²		 N 80.755763°
W 30.684814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414760589599609 y=0.0996894836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414760589599609 × 217)
    floor (0.414760589599609 × 131072)
    floor (54363.5)     		tx = 54363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996894836425781 × 217)
    floor (0.0996894836425781 × 131072)
    floor (13066.5)     		ty = 13066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54363 / 13066 ti = "17/54363/13066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54363/13066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54363 ÷ 217
    54363 ÷ 131072     		x = 0.414756774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13066 ÷ 217
    13066 ÷ 131072     		y = 0.0996856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414756774902344 × 2 - 1) × π
    -0.170486450195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.53559898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996856689453125 × 2 - 1) × π
    0.800628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51524912306435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53559898} λ = -0.53559898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51524912306435))-π/2
    2×atan(12.3696899703688)-π/2
    2×1.49012898690285-π/2
    2.9802579738057-1.57079632675     		φ = 1.40946165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53559898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.687561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40946165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.756204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54363 KachelY 13066 -0.53559898 1.40946165 -30.687561 80.756204
    Oben rechts KachelX + 1 54364 KachelY 13066 -0.53555104 1.40946165 -30.684814 80.756204
    Unten links KachelX 54363 KachelY + 1 13067 -0.53559898 1.40945395 -30.687561 80.755763
    Unten rechts KachelX + 1 54364 KachelY + 1 13067 -0.53555104 1.40945395 -30.684814 80.755763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40946165-1.40945395) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dl = 49.056699998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40946165-1.40945395) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dr = 49.056699998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53559898--0.53555104) × cos(1.40946165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		do = 49.0622756088599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53559898--0.53555104) × cos(1.40945395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160643293669005 × 6371000     		du = 49.0645968448609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40946165)-sin(1.40945395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16063569366777-0.160643293669005)×R²
    abs(-0.53555104--0.53559898)×7.60000123453675e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60000123453675e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60000123453675e-06×40589641000000     		ar = 2406.89027196763m²