Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54362 / 13082
↖ ↑ ↗
← N 80.749142°
W 30.690308°		 ← 49.10 m → N 80.749142°
W 30.687561°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.748700°
W 30.690308°		 ← 49.10 m →
2 409 m²		 N 80.748700°
W 30.687561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414752960205078 y=0.0998115539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414752960205078 × 217)
    floor (0.414752960205078 × 131072)
    floor (54362.5)     		tx = 54362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998115539550781 × 217)
    floor (0.0998115539550781 × 131072)
    floor (13082.5)     		ty = 13082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54362 / 13082 ti = "17/54362/13082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54362/13082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54362 ÷ 217
    54362 ÷ 131072     		x = 0.414749145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13082 ÷ 217
    13082 ÷ 131072     		y = 0.0998077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414749145507812 × 2 - 1) × π
    -0.170501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53564692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998077392578125 × 2 - 1) × π
    0.800384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51448213267043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53564692} λ = -0.53564692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51448213267043))-π/2
    2×atan(12.3602061744408)-π/2
    2×1.49006736056134-π/2
    2.98013472112268-1.57079632675     		φ = 1.40933839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53564692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.690308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40933839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.749142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54362 KachelY 13082 -0.53564692 1.40933839 -30.690308 80.749142
    Oben rechts KachelX + 1 54363 KachelY 13082 -0.53559898 1.40933839 -30.687561 80.749142
    Unten links KachelX 54362 KachelY + 1 13083 -0.53564692 1.40933069 -30.690308 80.748700
    Unten rechts KachelX + 1 54363 KachelY + 1 13083 -0.53559898 1.40933069 -30.687561 80.748700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40933839-1.40933069) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40933839-1.40933069) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53564692--0.53559898) × cos(1.40933839) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160757351763966 × 6371000     		do = 49.0994331230311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53564692--0.53559898) × cos(1.40933069) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16076495161268 × 6371000     		du = 49.1017543124484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40933839)-sin(1.40933069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160757351763966-0.16076495161268)×R²
    abs(-0.53559898--0.53564692)×7.59984871376296e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.59984871376296e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.59984871376296e-06×40589641000000     		ar = 2408.7130958928m²