Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54361 / 13065
↖ ↑ ↗
← N 80.756645°
W 30.693054°		 ← 49.05 m → N 80.756645°
W 30.690308°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.756204°
W 30.693054°		 ← 49.05 m →
2 406 m²		 N 80.756204°
W 30.690308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414745330810547 y=0.0996818542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414745330810547 × 217)
    floor (0.414745330810547 × 131072)
    floor (54361.5)     		tx = 54361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996818542480469 × 217)
    floor (0.0996818542480469 × 131072)
    floor (13065.5)     		ty = 13065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54361 / 13065 ti = "17/54361/13065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54361/13065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54361 ÷ 217
    54361 ÷ 131072     		x = 0.414741516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13065 ÷ 217
    13065 ÷ 131072     		y = 0.0996780395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414741516113281 × 2 - 1) × π
    -0.170516967773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.53569485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996780395507812 × 2 - 1) × π
    0.800643920898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51529705996397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53569485} λ = -0.53569485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51529705996397))-π/2
    2×atan(12.3702829491679)-π/2
    2×1.4901328370004-π/2
    2.9802656740008-1.57079632675     		φ = 1.40946935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53569485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.693054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40946935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.756645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54361 KachelY 13065 -0.53569485 1.40946935 -30.693054 80.756645
    Oben rechts KachelX + 1 54362 KachelY 13065 -0.53564692 1.40946935 -30.690308 80.756645
    Unten links KachelX 54361 KachelY + 1 13066 -0.53569485 1.40946165 -30.693054 80.756204
    Unten rechts KachelX + 1 54362 KachelY + 1 13066 -0.53564692 1.40946165 -30.690308 80.756204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40946935-1.40946165) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40946935-1.40946165) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53569485--0.53564692) × cos(1.40946935) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.160628093657011 × 6371000     		do = 49.0497207540515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53569485--0.53564692) × cos(1.40946165) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		du = 49.0520415087649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40946935)-sin(1.40946165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160628093657011-0.16063569366777)×R²
    abs(-0.53564692--0.53569485)×7.60001075883476e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.60001075883476e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.60001075883476e-06×40589641000000     		ar = 2406.27436035528m²