Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54360 / 13070
↖ ↑ ↗
← N 80.754439°
W 30.695801°		 ← 49.07 m → N 80.754439°
W 30.693054°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.753997°
W 30.695801°		 ← 49.07 m →
2 407 m²		 N 80.753997°
W 30.693054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414737701416016 y=0.0997200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414737701416016 × 217)
    floor (0.414737701416016 × 131072)
    floor (54360.5)     		tx = 54360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997200012207031 × 217)
    floor (0.0997200012207031 × 131072)
    floor (13070.5)     		ty = 13070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54360 / 13070 ti = "17/54360/13070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54360/13070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54360 ÷ 217
    54360 ÷ 131072     		x = 0.41473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13070 ÷ 217
    13070 ÷ 131072     		y = 0.0997161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53574279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0997161865234375 × 2 - 1) × π
    0.800567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51505737546587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53574279} λ = -0.53574279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51505737546587))-π/2
    2×atan(12.3673183394076)-π/2
    2×1.49011358469088-π/2
    2.98022716938176-1.57079632675     		φ = 1.40943084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53574279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40943084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.754439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54360 KachelY 13070 -0.53574279 1.40943084 -30.695801 80.754439
    Oben rechts KachelX + 1 54361 KachelY 13070 -0.53569485 1.40943084 -30.693054 80.754439
    Unten links KachelX 54360 KachelY + 1 13071 -0.53574279 1.40942314 -30.695801 80.753997
    Unten rechts KachelX + 1 54361 KachelY + 1 13071 -0.53569485 1.40942314 -30.693054 80.753997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40943084-1.40942314) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40943084-1.40942314) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53574279--0.53569485) × cos(1.40943084) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.160666103485648 × 6371000     		do = 49.0715635501021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53574279--0.53569485) × cos(1.40942314) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16067370344877 × 6371000     		du = 49.0738847744625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40943084)-sin(1.40942314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160666103485648-0.16067370344877)×R²
    abs(-0.53569485--0.53574279)×7.59996312149624e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.59996312149624e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.59996312149624e-06×40589641000000     		ar = 2407.34590747179m²