Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5436 / 11716
↖ ↑ ↗
← S 60.973107°
W 60.556640°		 ← 1 185.50 m → S 60.973107°
W 60.534668°		 →
↑
1 185.32 m
↓
↑
1 185.32 m
↓
S 60.983767°
W 60.556640°		 ← 1 185.10 m →
1 404 963 m²		 S 60.983767°
W 60.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331817626953125 y=0.715118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331817626953125 × 214)
    floor (0.331817626953125 × 16384)
    floor (5436.5)     		tx = 5436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715118408203125 × 214)
    floor (0.715118408203125 × 16384)
    floor (11716.5)     		ty = 11716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5436 / 11716 ti = "14/5436/11716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5436/11716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5436 ÷ 214
    5436 ÷ 16384     		x = 0.331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11716 ÷ 214
    11716 ÷ 16384     		y = 0.715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.05691276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.43017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35143707408862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05691276} λ = -1.05691276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35143707408862))-π/2
    2×atan(0.258867980745557)-π/2
    2×0.253307426293474-π/2
    0.506614852586948-1.57079632675     		φ = -1.06418147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05691276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.556640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06418147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.973107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5436 KachelY 11716 -1.05691276 -1.06418147 -60.556640 -60.973107
    Oben rechts KachelX + 1 5437 KachelY 11716 -1.05652927 -1.06418147 -60.534668 -60.973107
    Unten links KachelX 5436 KachelY + 1 11717 -1.05691276 -1.06436752 -60.556640 -60.983767
    Unten rechts KachelX + 1 5437 KachelY + 1 11717 -1.05652927 -1.06436752 -60.534668 -60.983767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06418147--1.06436752) × R
    0.000186049999999938 × 6371000     		dl = 1185.3245499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06418147--1.06436752) × R
    0.000186049999999938 × 6371000     		dr = 1185.3245499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05691276--1.05652927) × cos(-1.06418147) × R
    0.000383489999999931 × 0.485220090329152 × 6371000     		do = 1185.49690109711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05691276--1.05652927) × cos(-1.06436752) × R
    0.000383489999999931 × 0.48505740129061 × 6371000     		du = 1185.09941683197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06418147)-sin(-1.06436752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485220090329152-0.48505740129061)×R²
    abs(-1.05652927--1.05691276)×0.000162689038541663×R²
    0.000383489999999931×0.000162689038541663×6371000²
    0.000383489999999931×0.000162689038541663×40589641000000     		ar = 1404963.01094198m²