Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54359 / 49870
↖ ↑ ↗
← S 68.036352°
E118.602905°		 ← 228.45 m → S 68.036352°
E118.608398°		 →
↑
228.46 m
↓
↑
228.46 m
↓
S 68.038407°
E118.602905°		 ← 228.43 m →
52 189 m²		 S 68.038407°
E118.608398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829460144042969 y=0.760963439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829460144042969 × 216)
    floor (0.829460144042969 × 65536)
    floor (54359.5)     		tx = 54359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760963439941406 × 216)
    floor (0.760963439941406 × 65536)
    floor (49870.5)     		ty = 49870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54359 / 49870 ti = "16/54359/49870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54359/49870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54359 ÷ 216
    54359 ÷ 65536     		x = 0.829452514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49870 ÷ 216
    49870 ÷ 65536     		y = 0.760955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829452514648438 × 2 - 1) × π
    0.658905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07001120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.52191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6396337146044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07001120} λ = 2.07001120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6396337146044))-π/2
    2×atan(0.194051107361675)-π/2
    2×0.191668981995237-π/2
    0.383337963990473-1.57079632675     		φ = -1.18745836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07001120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.602905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18745836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.036352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54359 KachelY 49870 2.07001120 -1.18745836 118.602905 -68.036352
    Oben rechts KachelX + 1 54360 KachelY 49870 2.07010707 -1.18745836 118.608398 -68.036352
    Unten links KachelX 54359 KachelY + 1 49871 2.07001120 -1.18749422 118.602905 -68.038407
    Unten rechts KachelX + 1 54360 KachelY + 1 49871 2.07010707 -1.18749422 118.608398 -68.038407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18745836--1.18749422) × R
    3.58600000001097e-05 × 6371000     		dl = 228.464060000699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18745836--1.18749422) × R
    3.58600000001097e-05 × 6371000     		dr = 228.464060000699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07001120-2.07010707) × cos(-1.18745836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374018248973542 × 6371000     		do = 228.44577222985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07001120-2.07010707) × cos(-1.18749422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.373984991403669 × 6371000     		du = 228.425458912911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18745836)-sin(-1.18749422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374018248973542-0.373984991403669)×R²
    abs(2.07010707-2.07001120)×3.32575698737125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32575698737125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32575698737125e-05×40589641000000     		ar = 52189.3281877389m²