Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54359 / 13075
↖ ↑ ↗
← N 80.752232°
W 30.698548°		 ← 49.08 m → N 80.752232°
W 30.695801°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
N 80.751791°
W 30.698548°		 ← 49.09 m →
2 408 m²		 N 80.751791°
W 30.695801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414730072021484 y=0.0997581481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414730072021484 × 217)
    floor (0.414730072021484 × 131072)
    floor (54359.5)     		tx = 54359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997581481933594 × 217)
    floor (0.0997581481933594 × 131072)
    floor (13075.5)     		ty = 13075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54359 / 13075 ti = "17/54359/13075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54359/13075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54359 ÷ 217
    54359 ÷ 131072     		x = 0.414726257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13075 ÷ 217
    13075 ÷ 131072     		y = 0.0997543334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414726257324219 × 2 - 1) × π
    -0.170547485351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.53579073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0997543334960938 × 2 - 1) × π
    0.800491333007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51481769096777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53579073} λ = -0.53579073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51481769096777))-π/2
    2×atan(12.3643544401331)-π/2
    2×1.49009432782629-π/2
    2.98018865565257-1.57079632675     		φ = 1.40939233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53579073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.698548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40939233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.752232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54359 KachelY 13075 -0.53579073 1.40939233 -30.698548 80.752232
    Oben rechts KachelX + 1 54360 KachelY 13075 -0.53574279 1.40939233 -30.695801 80.752232
    Unten links KachelX 54359 KachelY + 1 13076 -0.53579073 1.40938463 -30.698548 80.751791
    Unten rechts KachelX + 1 54360 KachelY + 1 13076 -0.53574279 1.40938463 -30.695801 80.751791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40939233-1.40938463) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40939233-1.40938463) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53579073--0.53574279) × cos(1.40939233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160704113076014 × 6371000     		do = 49.083172657253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53579073--0.53574279) × cos(1.40938463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160711712991487 × 6371000     		du = 49.0854938670603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40939233)-sin(1.40938463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160704113076014-0.160711712991487)×R²
    abs(-0.53574279--0.53579073)×7.59991547291672e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59991547291672e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59991547291672e-06×40589641000000     		ar = 2407.91541160299m²