Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54346 / 50029
↖ ↑ ↗
← S 68.360725°
E118.531494°		 ← 225.24 m → S 68.360725°
E118.536987°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 68.362750°
E118.531494°		 ← 225.22 m →
50 724 m²		 S 68.362750°
E118.536987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829261779785156 y=0.763389587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829261779785156 × 216)
    floor (0.829261779785156 × 65536)
    floor (54346.5)     		tx = 54346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763389587402344 × 216)
    floor (0.763389587402344 × 65536)
    floor (50029.5)     		ty = 50029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54346 / 50029 ti = "16/54346/50029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54346/50029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54346 ÷ 216
    54346 ÷ 65536     		x = 0.829254150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50029 ÷ 216
    50029 ÷ 65536     		y = 0.763381958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829254150390625 × 2 - 1) × π
    0.65850830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06876484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763381958007812 × 2 - 1) × π
    -0.526763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65487764868358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06876484} λ = 2.06876484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65487764868358))-π/2
    2×atan(0.191115437500405)-π/2
    2×0.188838299138699-π/2
    0.377676598277398-1.57079632675     		φ = -1.19311973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06876484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.531494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19311973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.360725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54346 KachelY 50029 2.06876484 -1.19311973 118.531494 -68.360725
    Oben rechts KachelX + 1 54347 KachelY 50029 2.06886071 -1.19311973 118.536987 -68.360725
    Unten links KachelX 54346 KachelY + 1 50030 2.06876484 -1.19315508 118.531494 -68.362750
    Unten rechts KachelX + 1 54347 KachelY + 1 50030 2.06886071 -1.19315508 118.536987 -68.362750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19311973--1.19315508) × R
    3.53499999998785e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19311973--1.19315508) × R
    3.53499999998785e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06876484-2.06886071) × cos(-1.19311973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368761807812024 × 6371000     		do = 225.23520225467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06876484-2.06886071) × cos(-1.19315508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		du = 225.21513243969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19311973)-sin(-1.19315508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368761807812024-0.368728948910838)×R²
    abs(2.06886071-2.06876484)×3.28589011854286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28589011854286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28589011854286e-05×40589641000000     		ar = 50724.0522855788m²