Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54344 / 86984
↖ ↑ ↗
← S 50.639010°
W 30.739746°		 ← 193.70 m → S 50.639010°
W 30.736999°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
S 50.640752°
W 30.739746°		 ← 193.70 m →
37 515 m²		 S 50.640752°
W 30.736999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414615631103516 y=0.663639068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414615631103516 × 217)
    floor (0.414615631103516 × 131072)
    floor (54344.5)     		tx = 54344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663639068603516 × 217)
    floor (0.663639068603516 × 131072)
    floor (86984.5)     		ty = 86984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54344 / 86984 ti = "17/54344/86984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54344/86984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54344 ÷ 217
    54344 ÷ 131072     		x = 0.41461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86984 ÷ 217
    86984 ÷ 131072     		y = 0.66363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53650978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.3272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02815062305096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53650978} λ = -0.53650978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02815062305096))-π/2
    2×atan(0.35766781190593)-π/2
    2×0.343489433727155-π/2
    0.686978867454309-1.57079632675     		φ = -0.88381746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53650978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.739746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88381746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.639010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54344 KachelY 86984 -0.53650978 -0.88381746 -30.739746 -50.639010
    Oben rechts KachelX + 1 54345 KachelY 86984 -0.53646184 -0.88381746 -30.736999 -50.639010
    Unten links KachelX 54344 KachelY + 1 86985 -0.53650978 -0.88384786 -30.739746 -50.640752
    Unten rechts KachelX + 1 54345 KachelY + 1 86985 -0.53646184 -0.88384786 -30.736999 -50.640752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88381746--0.88384786) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88381746--0.88384786) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53650978--0.53646184) × cos(-0.88381746) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		do = 193.702300506989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53650978--0.53646184) × cos(-0.88384786) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.634180739381807 × 6371000     		du = 193.695121619757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88381746)-sin(-0.88384786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634204243907759-0.634180739381807)×R²
    abs(-0.53646184--0.53650978)×2.35045259523448e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.35045259523448e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.35045259523448e-05×40589641000000     		ar = 37515.2564437548m²