Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54341 / 13244
↖ ↑ ↗
← N 80.677339°
W 30.747986°		 ← 49.48 m → N 80.677339°
W 30.745239°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.676894°
W 30.747986°		 ← 49.48 m →
2 446 m²		 N 80.676894°
W 30.745239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414592742919922 y=0.101047515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414592742919922 × 217)
    floor (0.414592742919922 × 131072)
    floor (54341.5)     		tx = 54341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101047515869141 × 217)
    floor (0.101047515869141 × 131072)
    floor (13244.5)     		ty = 13244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54341 / 13244 ti = "17/54341/13244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54341/13244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54341 ÷ 217
    54341 ÷ 131072     		x = 0.414588928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13244 ÷ 217
    13244 ÷ 131072     		y = 0.101043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414588928222656 × 2 - 1) × π
    -0.170822143554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.53665359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101043701171875 × 2 - 1) × π
    0.79791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50671635493198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53665359} λ = -0.53665359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50671635493198))-π/2
    2×atan(12.2645913029315)-π/2
    2×1.48944075949855-π/2
    2.9788815189971-1.57079632675     		φ = 1.40808519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53665359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.747986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40808519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.677339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54341 KachelY 13244 -0.53665359 1.40808519 -30.747986 80.677339
    Oben rechts KachelX + 1 54342 KachelY 13244 -0.53660565 1.40808519 -30.745239 80.677339
    Unten links KachelX 54341 KachelY + 1 13245 -0.53665359 1.40807743 -30.747986 80.676894
    Unten rechts KachelX + 1 54342 KachelY + 1 13245 -0.53660565 1.40807743 -30.745239 80.676894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40808519-1.40807743) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40808519-1.40807743) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53665359--0.53660565) × cos(1.40808519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161994126033314 × 6371000     		do = 49.4771758193458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53665359--0.53660565) × cos(1.40807743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162001783532201 × 6371000     		du = 49.47951461661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40808519)-sin(1.40807743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161994126033314-0.162001783532201)×R²
    abs(-0.53660565--0.53665359)×7.65749888714806e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65749888714806e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65749888714806e-06×40589641000000     		ar = 2446.15793012173m²