Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54332 / 12948
↖ ↑ ↗
← N 80.808120°
W 30.772705°		 ← 48.78 m → N 80.808120°
W 30.769959°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.807681°
W 30.772705°		 ← 48.78 m →
2 381 m²		 N 80.807681°
W 30.769959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414524078369141 y=0.0987892150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414524078369141 × 217)
    floor (0.414524078369141 × 131072)
    floor (54332.5)     		tx = 54332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987892150878906 × 217)
    floor (0.0987892150878906 × 131072)
    floor (12948.5)     		ty = 12948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54332 / 12948 ti = "17/54332/12948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54332/12948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54332 ÷ 217
    54332 ÷ 131072     		x = 0.414520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12948 ÷ 217
    12948 ÷ 131072     		y = 0.098785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.17095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53708502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098785400390625 × 2 - 1) × π
    0.80242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52090567721951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53708502} λ = -0.53708502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52090567721951))-π/2
    2×atan(12.4398580592713)-π/2
    2×1.49058204319376-π/2
    2.98116408638753-1.57079632675     		φ = 1.41036776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53708502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.772705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41036776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.808120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54332 KachelY 12948 -0.53708502 1.41036776 -30.772705 80.808120
    Oben rechts KachelX + 1 54333 KachelY 12948 -0.53703709 1.41036776 -30.769959 80.808120
    Unten links KachelX 54332 KachelY + 1 12949 -0.53708502 1.41036010 -30.772705 80.807681
    Unten rechts KachelX + 1 54333 KachelY + 1 12949 -0.53703709 1.41036010 -30.769959 80.807681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41036776-1.41036010) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41036776-1.41036010) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53708502--0.53703709) × cos(1.41036776) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		do = 48.7789230022876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53708502--0.53703709) × cos(1.41036010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159748846435614 × 6371000     		du = 48.7812320377674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41036776)-sin(1.41036010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159741284803018-0.159748846435614)×R²
    abs(-0.53703709--0.53708502)×7.56163259649223e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.56163259649223e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.56163259649223e-06×40589641000000     		ar = 2380.55851398188m²